18.5. Основные распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение
Определение 1. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.
Пусть на интервале (a, b) плотность распределения является постоянной величиной: f(x) = С. Определим значение С из условия (18.35):
откуда получаем, что f(x) = С = 1/(b - а). Значит, искомая плотность равномерного распределения дается формулой
График плотности равномерного распределения указан на рис. 18.5.
Пример 1. Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно на интервале (1, 5).
Решение. Согласно формуле (18.39), плотность распределения указанной случайной величины является ненулевой и равна 0,25 на интервале (1, 5). По формулам (18.36) и (18.38) последовательно вычисляем:
Пример 2. Радиус круга измерен приближенно на интервале (а, b). Полагая, что радиус является случайной величиной X, распределенной равномерно в этом интервале, найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.
Решение. Площадь круга также является случайной величиной, вычисляемой по формуле Y = πX2; она имеет то же равномерное распределение, что и случайная величина X. По формулам (18.36) и (18.38) получаем
Нормальное распределение
Определение 2. Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины Х называется распределение с плотностью
Нормальное распределение задается двумя параметрами: а и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нормального распределения справедливы формулы
Определение 3. Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным; его плотность равна
Рассмотрим функцию нормального распределения как первообразную плотности распределения вероятностей. Для случая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид
Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределенный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)
Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).
График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений а показан на рис. 18.6.
Определение 4. Модой Мо(Х) называется возможное значение случайной величины X, при котором плотность распределения имеет максимум.
Определение 5. Медианой Ме(Х) называется такое возможное значение случайной величины X, что вертикальная прямая х = Me(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.
Нетрудно видеть, что график плотности нормального распределения симметричен относительно прямой х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математическим ожиданием:
Пусть случайная величина Х задана плотностью нормального распределения (18.40), тогда вероятность того, что Х примет значение на интервале (α, β), согласно формуле (18.33), равна
Преобразование этой формулы путем введения новой переменной интегрирования z = (х - а)/σ приводит к удобной вычислительной формуле:
где Ф — функция Лапласа, определенная по формуле (18.43).
Пример 3. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти вероятность того, что Х примет значение на интервале (20, 30).
Решение. Воспользуемся формулой (18.44). По условию а = 10, σ = 5, α = 20 и β = 30. Следовательно,
По табл. 2 Приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем
Пример 4. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).
Решение. По условию задачи а = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (18.44), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна
Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.
Асимметрия и эксцесс
В прикладных задачах, например в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального распределения, возникает необходимость количественных оценок этих различий. Для этой цели введены специальные безразмерные характеристики.
Определение 6. Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:
Определение 7. Эксцессом теоретического распределения называется величина, определяемая равенством
где μ4 — центральный момент четвертого порядка.
Для нормального распределения As = Еk = 0. При отклонении от нормального распределения асимметрия положительна, если "длинная" и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна (рис. 18.7, а, б).
Эксцесс характеризует "крутизну" подъема кривой распределения по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс положителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину (рис. 18.7, в).
Следует иметь в виду, что при использовании указанных характеристик сравнения опорными являются предположения об одинаковых величинах математического ожидания и дисперсии для нормального и теоретического распределений.
Пример 5. Пусть дискретная случайная величина Х задана законом следующего распределения:
Найти асимметрию и эксцесс теоретического распределения.
Решение. Найдем сначала математическое ожидание случайной величины:
Затем вычисляем начальные и центральные моменты 2, 3 и 4-го порядков и среднее квадратическое отклонение (см. формулы (18.27)-(18.31)):
Теперь по формулам (18.45) и (18.46) находим искомые величины:
В данном случае "длинная" часть кривой распределения расположена справа от моды, причем сама кривая является несколько более островершинной, чем нормальная кривая с теми же величинами математического ожидания и дисперсии.