17.2. Теорема сложения вероятностей

Несовместные события

Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В, либо событий A и В одновременно.

Это определение напоминает сумму множеств (см. гл. 1) и используется в теоретико-множественном подходе теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события А и В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А + В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из этих событий.

ТЕОРЕМА 1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области соответственно равны 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зоны.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 17.1 и формула (17.3) сложения вероятностей. Искомая вероятность равна

Полная группа событий

ТЕОРЕМА 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 2. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

Противоположные события

Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы 17.2 следует, что

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие — это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попадание, либо промах. То же самое и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3. В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 3-х телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение. События "среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного" и "есть хотя бы один неисправный" — противоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через . Общее число способов, которыми можно взять 3 изделия из десяти, равно C . Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно C , так что вероятность Р(А) = C /С . Искомая вероятность определяется из формулы (17.4):