15.3. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонстрируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.

Практически этот наиболее простой способ вычисления обратной матрицы состоит в следующих шагах.

1. К матрице А, по отношению к которой ищется обратная матрица, приписывается справа единичная матрица Е.

2. Путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А|Е) матрица А приводится к виду единичной матрицы.

3. После окончания указанного вычислительного процесса, т.е. когда на месте исходной матрицы А будет сформирована единичная матрица, на месте приписанной справа единичной матрицы Е будет находиться обратная матрица А^-1. Иными словами, вместо расширенной матрицы (А|Е) в итоге получaется расширенная матрица (E|A^-1).

Продемонстрируем эту последовательность действий на несложном примере.

Пример 1. Найти обратную матрицу исходной матрицы

Решение. Выполняем последовательно шаги 1 — 3:

Схема вычислений по методу Гаусса пояснена здесь теми же обозначениями, что и в п. 15.2, при этом стрелками показано, к какой строке прибавляется измененная строка. Последний этап вычислений, показанный стрелкой (3), состоит в делении последней строки расширенной матрицы на -2. Итак, обратная матрица имеет вид

Нетрудно непосредственно проверить правильность проведенных вычислений по определению обратной матрицы: АА^-1 = А^-1А.

15.4. Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений

Как известно, уравнения с двумя переменными вида

описывают на координатной плоскости Оху прямую. Система двух уравнений такого вида означает, что ее решения как точки на координатной плоскости должны принадлежать одновременно двум прямым, соответствующим уравнениям этой системы. Отсюда возможны следующие варианты: а) обе прямые пересекаются, и тогда система имеет единственное решение; б) прямые параллельны, и система не имеет решения (несовместна); в) прямые совпадают, т.е. ранг системы равен единице, и система имеет бесчисленное множество решений.

Уравнение с тремя переменными вида

описывает плоскость в трехмерном пространстве. Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными — это точки пространства, принадлежащие одновременно трем плоскостям, которые описываются уравнениями системы. В этом случае возможны следующие варианты: а) три плоскости пересекаются в одной точке, и система имеет единственное решение; б) три плоскости пересекаются по одной прямой — система имеет бесчисленное множество решений (все точки на этой прямой); в) две плоскости совпадают, а третья пересекает их — бесчисленное множество решений (все точки прямой — на пересечении трех плоскостей), ранг системы равен двум; г) все три плоскости совпадают — все точки общей плоскости являются решениями, и ранг системы равен единице; д) хотя бы одна из плоскостей параллельна какой-либо из двух других — система несовместна; е) плоскости пересекаются попарно по параллельным прямым — система несовместна. В последних двух случаях несовместность системы уравнений обусловлена тем, что нет таких точек трехмерного пространства, которые принадлежали бы одновременно всем трем плоскостям.

В случае системы уравнений с n неизвестными каждое уравнение вида

можно интерпретировать как гиперплоскость в координатном пространстве Aⁿ. Решение системы (15.1) — это множество точек пространства Aⁿ, которые принадлежат одновременно всем m гиперплоскостям, соответствующим уравнениям этой системы.