13.2. Обратная матрица

Ранг матрицы

Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов). Поскольку любая система векторов характеризуется рангом (п. 12.2), то естественно встает вопрос о такой же характеристике и для матриц. Так как здесь имеют место две совокупности векторов — векторы-строки и векторы-столбцы, то у матрицы, вообще говоря, два ранга — строчный и столбцовый. Ответ на вопрос об их равноправии дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Строчный и столбцовый ранги любой матрицы равны.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Стало быть, ранг любой матрицы размера т х п можно искать как ранг одной из двух систем векторов: либо т векторов-строк, либо п векторов-столбцов. Как следует из п. 12.2, для прямоугольной матрицы максимальный ранг r = min (m, n). Для квадратной матрицы размером п х n ее максимальный ранг не может превышать п: r ≤ п.

Понятие обратной матрицы

Понятие обратной матрицы распространяется только на квадратные матрицы, поэтому здесь и далее мы будем иметь дело с матрицами порядка п.

Определение 1. Матрица порядка п называется вырожденной, если ее ранг r < п.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если их произведение равно единичной матрице:

Несколько забегая вперед, отметим, что для вырожденной матрицы не существует обратной матрицы. Иными словами, если для некоторой матрицы порядка п ее ранг r < п, то для нее не существует обратной матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

13.1. Найти матрицу С = 2А - В, где

13.2. Даны следующие матрицы:

Найти: а) все произведения матриц, которые имеют смысл; б) соответствующие транспонированные матрицы; в) матрицу 2G – С², г) матрицу С³.

13.3. Дана матрица . Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами этой матрицы, и указать соответствующие собственные значения:

Глава 14. Определители

14.1. Операции над определителями и основные свойства

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана матрица

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали вычитается произведение элементов на второй диагонали матрицы А. Нетрудно видеть, что формула (14.1) представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А, стоящих в разных строках и разных столбцах.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Правило вычисления определителя третьего порядка следующее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со знаком минус — произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 14). Заметим, что каждое слагаемое в формуле (14.2) содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы.

Рассмотрим определитель n-го порядка

Теперь с учетом подмеченных выше закономерностей перейдем к определению для общего случая.

Определение 1. Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! произведений n-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Основные свойства определителей

Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.

1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно общему определению, в каждое из n! слагаемых обязательно войдет сомножителем элемент нулевой строки (нулевого столбца).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Это свойство легко проверяется на определителях второго и третьего порядков.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Действительно, поменяв местами эти строки, получаем Δ_n = -Δ_n откуда и следует, что Δ_n = 0.

4. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя Δ_n представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых: а) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) определителя Δ_n; б) на месте указанной строки (столбца) первый определитель содержит первые слагаемые, а второй определитель — вторые слагаемые данной строки (столбца) определителя Δ_n.

Поясним это свойство на примере определителя третьего порядка:

6. Определитель не изменится, если к элементам любой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

Это свойство является следствием свойств 3-5.

7. При транспонировании матрицы определитель не меняется.

Из перечисленных свойств следует, что определитель равен нулю, если по крайней мере одна из его строк (столбцов) является линейной комбинацией каких-либо других его строк (столбцов). Отсюда вытекает необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент а_ij и вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (n - 1)-го порядка называется минором M_ij элемента a_ij определителя Δ_n.

Пример 1. Найти минор М₃₂ определителя четвертого порядка

Решение. Минор М₃₂ элемента a₃₂ получается вычеркиванием из данного определителя 3-й строки и 2-го столбца. Полученный определитель 3-го порядка равен

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя (14.3) называется число

Так, для приведенного выше примера алгебраическое дополнение равно

Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и ее приложениях. Одним из таких применений является основополагающая теорема о способе вычисления определителей.

ТЕОРЕМА 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:

Формула (14.4) называется разложением определителя по i-й строке. Доказательство этой теоремы мы опускаем. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу.

Формула (14.4) сводит вычисление определителя n-го порядка к вычислению n определителей (n - 1)-го порядка. Зная формулу (14.2) вычисления определителя 3-го порядка, мы, например, можем найти определитель 4-го порядка путем разложения его на сумму алгебраических дополнений по формуле (14.4).

Пример 2. Вычислить определитель 4-го порядка

Решение. В принципе, разложить определитель можно по любой строке (столбцу), согласно формуле (14.4). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой побольше элементов равно нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вил