1.3. Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и Y установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу х Х соответствует элемент у Y. Соответствие называется взаимно однозначным, если любому х Х соответствует только один элемент из Y и, наоборот, любому у Y соответствует только один элемент .

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это дает возможность наглядно геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем направление отсчета (обычно слева направо, рис. 1.2) и единицу измерения или масштаб.

Рис. 1.2

Эти три действия полностью определяют нам числовую (координатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. Поставим ей в соответствие число x, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Пусть а и b — два числа, причем а < b. Укажем некоторые наиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел будем обозначать

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (a,b], [а, b), (а, + ), (- ,b), [а, + ) и (- , b].

Все эти множества называются промежутками; промежутки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и b — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами.

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, b] изображается отрезком М₁М₂, таким, что точка M₁ имеет координату а, точка M₂ — координату b. Вся координатная прямая является изображением множества всех вещественных чисел, и потому множество (- , ) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

1.4. Грани числовых множеств

Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х Х выполняется неравенство х ≤ d (х ≥ d). Число d тогда называется верхней (нижней) гранью множества X. Множества, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными. Любой конечный промежуток ограничен. Интервалы (а, + ) и (- , b) представляют собой множества, ограниченные соответственно снизу (сверху), но не ограниченные сверху (снизу). Вся числовая прямая не ограничена ни снизу, ни сверху.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если число d является верхней гранью множества X, то и любое число d₁ > d, согласно определению верхней грани, также будет верхней гранью этого множества. Наименьшая верхняя грань множества X, ограниченного сверху, называется точной верхней гранью этого множества; она обозначается символом supX. Наибольшая нижняя грань ограниченного снизу множества Х называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом infX. Эти символы заимствованы из латинского языка: supremum — наивысший и infimum — наинизший.

Приведем некоторые примеры. Пусть Х = (а, b). В таком cлучае числа а и b являются точными нижней и верхней гранями множества X, т.е. а = inf X, b = sup X. Пусть X = (- , b). Тогда нижних граней (в том числе и точной нижней грани) множество Х не имеет, а число b является его точной верхней гранью: b = sup X.

Известна следующая теорема о существовании точной верхней (нижней) грани числового множества, которую мы приводим ниже без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.