12.3. Разложение вектора по базису

Представление вектора в произвольном базисе

Пусть система векторов

является базисом, а вектор — их линейной комбинацией. Имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Разложение любого вектора в базисе, если оно существует, является единственным.

Доказательство. Предположим, что вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов (12.9) двумя способами:

где наборы чисел α_i и β_i, среди которых обязательно есть ненулевые значения, не совпадают. Вычитая одно равенство из другого, имеем

Мы получили, что линейная комбинация векторов системы (12.9), в которой не все коэффициенты равны нулю (в силу несовпадения α_i и β_i), равна нулю, т.е. данная система оказалась линейно зависимой, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.

Стало быть, в произвольном базисе пространства Rⁿ

любой вектор этого пространства обязательно представим в виде разложения по базисным векторам:

причем это разложение является единственным для данного базиса. Коэффициенты разложения

называются координатами вектора в базисе (12.10), и, как следует из сказанного, этот набор единственный для любого вектора из Rⁿ в данном базисе.

Задача нахождения коэффициентов разложения в случае произвольного базиса (12.10) является, вообще говоря, непростой. Нужно приравнять соответствующие координаты линейной комбинации векторов слева и координаты вектора в (12.11). Пусть базисные векторы и вектор заданы в следующей координатной форме:

Выполнение процедуры, описанной выше, приводит к системе п линейных уравнений относительно п неизвестных координат разложения вектора в базисе (12.10):

Такие системы уравнений и методы их решения представляют отдельные разделы линейной алгебры; они будут рассмотрены в следующих главах.

Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства Rⁿ, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

Ортогональные базисы хорошо известны и широко используются на плоскости и в пространстве (рис. 12.2). Базисы такого вида удобны прежде всего тем, что координаты разложения произвольного вектора определяются по весьма простой процедуре, не требующей трудоемких вычислений.

Действительно, пусть требуется найти разложение произвольного вектора в ортогональном базисе (12.13). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор ₁. В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (12.13) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент α₁ определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (12.14) на другие базисные векторы, мы получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :

Нетрудно видеть, что соотношения (12.15) имеют смысл, поскольку | _i| ≠ 0.

Отметим особо частный случай ортогонального базиса, когда все векторы в (12.13) имеют единичную длину (| _i| = 1), или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным и координаты разложения (12.15) имеют наиболее простой вид:

УПРАЖНЕНИЯ

12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3 + 4 - , где = (4, 1, 3, -2), = (1, 2, -2, 3), = (10, 8, 1, -3).

12.2. Найти линейную комбинацию векторов

где , , — векторы, указанные в предыдущей задаче.

12.3. Для векторов = (2, 4, -3, 0) и = (-1, 2, 2, -5) найти их длину и угол между ними.

12.4. Вычислить ( - )² , если |а| = 2 , |b| = 4, угол между векторами φ = 135°.

12.5. Найти координаты вектора = (2, -4, 3, 5) в ортогональном базисе, состоящем из векторов