Часть 3. Элементы линейной алгебры Глава 12. Векторы

12.1. Векторное пространство

Понятие и основные свойства вектора

Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.

Определение 1. Любой упорядоченный набор из п действительных чисел a₁, a₂, ..., а_п называется п-мерным вектором ; при этом числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами (компонентами) вектора .

Определение 2. Совокупность всех n-мерных векторов называется n-мерным векторным пространством Rⁿ.

Координаты n-мерного вектора можно расположить либо в строку:

либо в столбец:

Запись вида (12.1) называется вектором-строкой, а вида (12.2) — вектором-столбцом.

Определение 3. Два вектора с одним и тем же числом координат

называются равными, если их соответствующие координаты равны, т.е.

Определение 4. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором

Операции над векторами

Пусть векторы и принадлежат n-мерному векторному пространству Rⁿ:

Будем называть суммой векторов и вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

Пусть λ — любое действительное число. Произведением вектора на число λ будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число:

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть , и — произвольные векторы n-мерного векторного пространства. Тогда:

1) + = + — переместительное свойство;

2) ( + ) + = + ( + ) — сочетательное свойство;

3) λ( + ) = λ + λ , где λ — действительное число;

4) (λ + μ) = λ + μ , где λ и μ — действительные числа;

5) λ(μ ) = (λμ) , где λ и μ — действительные числа;

6) + = ;

7) для любого вектора существует такой вектор - , что - = (-1) , + (- ) = ;

8) 0 = для любого вектора .

Скалярное произведение векторов

Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:

Как мы видим, формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичным определением двух- и трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов:

1) = ;

2) (λ ) = (λ ) = λ( ), где λ — действительное число;

3) ( + ) = + ;

4) > 0, если ≠ , и = 0, если = .

Введем понятие модуля вектора (его длины) и угла между векторами в виде обобщения на случай п > 3.

Определение 6. Для векторов из n-мерного векторного пространства модуль вектора и угол φ между двумя ненулевыми векторами и определяются по формулам:

Укажем одно важное свойство векторов. Векторы и будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

Равенство (12.5) является аналогом условия перпендикулярности векторов в двух- и трехмерном случаях, когда в равенстве (12.4) cosφ = 0.