11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Модель естественного роста выпуска

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.

где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.

Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.

где 1/l — норма акселерации. Подставив в (11.2) формулу (11.1), получим

Дифференциальное уравнение (11.3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид

где С — произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени t = t₀ зафиксирован (задан) объем выпуска продукции Q₀. Тогда из этого условия можно выразить постоянную С: Q₀ = С , откуда С = Q₀ . Отсюда получаем частное решение уравнения (11.3) — решение задачи Коши для этого уравнения:

Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так, из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (11.3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (11.4).

Рост выпуска в условиях конкуренции

В этой модели мы снимем предположение о ненасыщаемости рынка. Пусть Р = Р(Q) — убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рынке цена на нее падает: dP/dQ < 0. Теперь из формул (11.1)-(11.3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:

Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q' > 0, т.е. функция Q(t) возрастающая.

Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (11.5) получаем

Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса

или, так как < 0, а значит, и Е < 0, окончательно получаем

Из уравнения (11.6) следует, что Q" > 0 при эластичном спросе, т.е. когда |Е| > 1, и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост. При неэластичном спросе |Е| < 1, и в этом случае Q" < 0 — направление выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост (насыщение).

Для простоты примем зависимость P(Q) в виде линейной функции

(рис. 11.1). Тогда уравнение (11.5) имеет вид

откуда

Из соотношений (11.7) и (11.8) получаем: Q' = 0 при Q = 0 и при Q = а/b, Q" > 0 при Q < а /(2b) и Q" < 0 при Q > а/(2b); Q = a/(2b) — точка перегиба графика функции Q = Q(t). Приведенный на рис. 11.2 график этой функции (одной из интегральных кривых дифференциального уравнения (11.7)) носит название логистической кривой.

Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в ограниченной среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.

Динамическая модель Кейнса

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) — соответственно национальный доход, государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) — автономное (конечное) потребление, k(t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (11.9), положительны.

Поясним смысл уравнений (11.9). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t.

Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

Согласно п. 9.4, существует достаточно сложная формула общего решения этого уравнения. Мы проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (11.10) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (11.11) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (11.11) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (11.11) показаны на рис. 11.3. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p , то С = Y₀ — Y_p < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (11.12), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (11.13) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р.

Согласно классификации п. 9.3, уравнение (11.11) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустойчивого равновесия.

Неоклассическая модель роста

Пусть Y = F (K, L) — национальный доход, где F — однородная производственная функция первого порядка (F (tK, tL) = tF (K, L)), К — объем капиталовложений (производственных фондов), L — объем затрат труда. Введем в рассмотрение величину фондовооруженности k = K/L, тогда производительность труда выражается формулой

Целью задачи, рассматриваемой в этом разделе, является описание динамики фондовооруженности или представление ее как функции от времени t. Поскольку любая модель базируется на определенных предпосылках, нам нужно сделать некоторые предположения и ввести ряд определяющих параметров. В данном случае будем полагать, что выполнены следующие предположения.

1. Имеет место естественный прирост во времени трудовых ресурсов:

2. Инвестиции расходуются на увеличение производственных фондов и на амортизацию, т.е.

где β — норма амортизации.

Тогда если l — норма инвестиций, то I = lY = К' + βК, или

Из определения фондовооруженности k вытекает, что

Дифференцируя это равенство по t, имеем

Подставив в это соотношение выражения (11.15) и (11.16), получаем уравнение относительно неизвестной функции k

где функция f(k) определена по формуле (11.14).

Полученное соотношение (11.17) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными (которое является автономным). Выделим стационарное решение этого уравнения; из условия k' = 0 следует, что

т.е. k = const — постоянная величина, являющаяся корнем этого нелинейного алгебраического уравнения.

Рассмотрим конкретную задачу: для производственной функции F(K, L) = найти интегральные кривые уравнения (11.17) и стационарное решение. Из (11.14) следует, что f(k) = , и тогда уравнение (11.17) имеет вид

Стационарное решение этого уравнения следует из равенства

откуда получаем ненулевое частное решение уравнения (11.17): k_st = I²/(α + β)².

Рис. 11.4

Дифференциальное уравнение (11.17) решаем методом разделения переменных:

Интегрируя это уравнение с заменой переменной = z, получаем его общее решение в окончательном виде:

Семейство интегральных кривых сходится сверху и снизу к стационарному решению (рис. 11.4): т.е. k k_st при t . Следовательно, при неизменных входных параметрах задачи l, α и β функция фондовооруженности в данном случае устойчиво стремится к стационарному значению независимо от начальных условий. Такая стационарная точка k = k_st является точкой устойчивого равновесия.