10.4. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

Как было сказано в п. 10.1, в силу основной теоремы существования и единственности решения для уравнения второго порядка

определена задача Коши, когда в точке х = x₀ заданы значения неизвестной функции и ее производной:

Если выполнены условия теоремы 10.1, то задача Коши (10.13), (10.14) однозначно определяет частное решение.

Однако существует и другой тип задач для дифференциальных уравнений второго порядка — значения неизвестной функции задаются в двух разных точках. Иными словами, при решении уравнения (10.13) на интервале (а, b) рассмотрим граничные условия наиболее простого вида на концах интервала

В этом случае уравнение (10.13) совместно с условиями (10.14) называется первой краевой задачей для уравнения второго порядка. Поскольку второе условие в (10.15) равносильно второму условию в (10.14), то указанная краевая задача может иметь единственное решение, т.е. определять единственным образом частное решение дифференциального уравнения (10.13), проходящее через точки (x₁, y₁), (x₂, y₂). Так, для линейного дифференциального уравнения второго порядка первая краевая задача имеет решение, если определитель системы линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C₁ и С₂

реализующей краевые условия (10.15), отличен от нуля. Здесь в соответствии с теоремой 10.4 (x) — частное решение неоднородного уравнения, у₁(х) и у₂(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения. В таком случае краевая задача с условиями (10.15) однозначно определяет частное решение дифференциального уравнения (10.8).

Пример 1. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

Общее решение этого уравнения было найдено в примере 4 и. 10.3:

Для отыскания частного решения, соответствующего данным краевым условиям, подставим это решение в эти краевые условия. Получаем систему линейных уравнений относительно произвольных постоянных С₁ и С₂

Нетрудно видеть, что определитель этой системы не равен нулю, т.е. данная краевая задача имеет решение. Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на 2, получаем С₂, а затем из первого уравнения — С₁:

Отсюда решение данной краевой задачи как частное решение дифференциального уравнения, проходящее через точки (0, 1) и (ln 2, 2), имеет вид

УПРАЖНЕНИЯ

Найти общие решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Найти общие решения неоднородных уравнений.

Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющих указанным условиям задачи Коши.

Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющих заданным краевым условиям.

Глава 11. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.