10.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

Введем новую функцию z(x) путем замены z(x) = у'. Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: z' = f(x), решением которого является функция z(х) = f(x) dx + С₁. Поскольку z(x) = у', то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (10.4):

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит в явном виде у. Как и в предыдущем случае, положим z(x) = у'. Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида z' = f(x, z). Найдя общее решение этого уравнения z = φ(x, C₁), повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (10.5):

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

3. Уравнение вида

т.е. уравнение не содержит независимой переменной x. Здесь мы вводим новую функцию, зависящую от у, полагая z(y) = у'. Тогда, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции

то уравнение (10.6) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции z(y):

Пусть общее решение этого уравнения z = φ(у, С₁). Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции у(х)

из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (10.6):

где С₁ и C₂ — произвольные постоянные.

Рассмотрим два примера решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Это уравнение вида (10.5), поскольку оно не содержит в явном виде у. Заменой z(x) = у' приведем его к уравнению первого порядка = -xz², откуда имеем z = , или у' = . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения:

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные. В зависимости от выбора знака С₁ интеграл в правой части этого равенства (обозначим его через I) может иметь разные выражения:

Решение. Это уравнение вида (10.6), т.е. оно не содержит явно независимой переменной х. Заменой z(y) = у' сведем его к уравнению первого порядка

Первое решение этого уравнения z = 0, или у = С, где С — постоянная величина. Сокращая после этого обе части уравнения на z, получаем — z = 0. Решение этого уравнения методом разделения переменных у и z дает z = С₁e^y. Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка

Разделение переменных x и у приводит к общему решению исходного уравнения: e^-ydy = C₁dx, откуда e^-y = С₁х + С₂, или окончательно

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные. Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение у = С, указанное выше (при С₁ = 0, С₂ ≠ 0).

Далее мы рассмотрим наиболее употребимый в математических приложениях вид дифференциальных уравнений второго порядка.

10.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

где y – искомая функция, а р(х), q(x) и f(x) – известные функции, непрерывные на некотором интервале (a, b).

Если f(x) ≡ 0, то уравнение (10.7) называется линейным однородным уравнением. Если f(x) ≠ 0, оно называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (10.7) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (10.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (10.3) при x₀ (а, b) это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

В этом разделе мы рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида (10.7) функции р(х) и q(x) — постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами. Итак, мы рассматриваем уравнение вида

где р и q — вещественные числа. Как и в общем случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.

Однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение

где р и q — вещественные числа. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка, как следует из теоремы 10.1, может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка — два, каков и порядок уравнения.

Определение 3. Решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (10.9) называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю:

лишь в том случае, когда С₁ = C₂ = 0.

В том случае, когда можно найти такие числа С₁ и С₂, не равные нулю одновременно, что для функций у₁(х) и у₂(х) на некотором интервале (a, b) выполняется равенство (10.10) для любого х (а, b), эти функции называются линейно зависимыми на интервале (а, b). Линейная зависимость функций означает их пропорциональность, например, у₁(х)/у₂(х) = —С₂/С₁, при у₂(х) ≠ 0 и С₁ ≠ 0.

ТЕОРЕМА 2. Пусть решения у₁(х) и у₂(х) уравнения (10.9) линейно независимы на интервале (а, b). Тогда функция

где С₁ и С₂ — произвольные постоянные, является общим решением однородного уравнения (10.9).

Эта теорема, по сути дела, выражает метод нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка: нужно отыскать два линейно независимых решения и взять их линейную комбинацию вида (10.11).

Будем искать решение уравнения (10.9) в виде у = е^kx, где k — некоторое число. Подставляя эту функцию в уравнение (10.9), получаем

Сокращая обе части этого равенства на е^kx, получаем квадратное уравнение относительно k

Стало быть, если число k является корнем уравнения (10.12), то функция у = е^kx есть решение однородного уравнения (10.9). Уравнение (10.10) называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (10.9).

Вид общего решения уравнения (10.9) существенно зависит от того, какие корни имеет характеристическое уравнение (10.10). Обозначим эти корни через k₁ и k₂. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. А) Если корни характеристического уравнения вещественные и k₁ ≠ k₂, то общее решение однородного дифференциального уравнения (10.9) имеет вид

Б) если корни уравнения (10.12) вещественные и равные между собой (k₁ = k₂ = k), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

В) если корни характеристического уравнения комплексные (k₁ = а + bi, k₂ = а — bi, где i = , a и b — вещественные числа), то общее решение уравнения (10.9) имеет вид

где а = -р/2, b = . Во всех трех случаях С₁ и С₂ — произвольные постоянные.

Заметим, что когда дискриминант характеристического уравнения (10.12) отрицательный, корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно-сопряженные числа; в случае В использована их алгебраическая форма.

Рассмотрим примеры отыскания общих решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Решение. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид

Его корни вещественные и различны: k₁ = 1, k₂ = 4. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Оно имеет кратный корень k = 3; следовательно, общее решение данного однородного уравнения имеет вид

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение

имеет дискриминант, равный —1, и, значит, комплексно-сопряженные корни таковы: k₁ = 1 + i, k₂ = 1 — i, где i = — мнимая единица. Следовательно, общее решение данного уравнения дается формулой

Неоднородные уравнения второго порядка

Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение полностью основывается на следующей фундаментальной теореме.

ТЕОРЕМА 4. Общее решение неоднородного уравнения (10.8) состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (10.9).

В ряде случаев удается "угадать" или подобрать частное решение неоднородного уравнения по виду его правой части. Рассмотрим несколько примеров решения таких уравнений.

Решение. Соответствующее однородное уравнение было рассмотрено в примере 1. Исходя из вида правой части, будем искать частное решение данного неоднородного уравнения в виде константы: = С. Подставляя это решение в уравнение, получаем, что С = 2. Отсюда следует, что общее решение неоднородного уравнения имеет вид

Решение. Для отыскания частного решения этого неоднородного уравнения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Будем искать это решение в виде многочлена той же степени, что и правая часть, т.е. = Ax + В, где А и В — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя в исходное уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях этого равенства, находим 9А = 9, -6А + 9В = 0. Отсюда А = 1, В = 2/3, т.е. = x + 2/3. Соединяя это решение с общим решением соответствующего однородного уравнения (см. пример 2), получаем общее решение неоднородного уравнения:

Решение. В этом случае частное решение (x) ищем в виде Се^2x. Подстановка в данное уравнение дает C = 1. Соединяя полученное частное решение с общим решением однородного уравнения (см. пример 3), окончательно имеем

Примечание 1. В общем случае, когда характеристическое уравнение содержит нулевой корень кратности s, а правая часть неоднородного уравнения представляет собой многочлен Р_п(х) степени п, частное решение этого уравнения ищется в виде Q_n(x)x^s, где Q_n(x) — многочлен степени п с неизвестными коэффициентами, которые определяются вышеуказанным методом.

Примечание 2. В общем случае, когда правая часть неоднородного уравнения имеет вид е^rx, его частное решение ищется в виде (х) = x^se^rx, где s — кратность корня k = r в характеристическом уравнении (10.12).