Часть 2. Элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения в большом спектре наук. Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения.

В дифференциальных уравнениях неизвестная функция содержится вместе со своими производными. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение функций, представляющих собой решения этих уравнений.

В этой части излагаются элементы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от одной переменной. Теория дифференциальных уравнений, когда неизвестные функции зависят от нескольких переменных — уравнения в частных производных, является более сложной и представляет специальный раздел математики.

Глава 9. Дифференциальные уравнения первого порядка

9.1. Основные понятия

Базовые определения

Определение 1. Уравнение вида

где х — независимая переменная, у и у' — соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

В случае когда из уравнения можно выразить у', оно имеет вид

Уравнение (9.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. В дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнений, разрешенных относительно производной:

Приведем примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции у'.

Пример 1. (y')² = x² + у², откуда получаем два уравнения первого порядка у' = ± .

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = φ(x), определенная на некотором интервале (а, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Например, функция у = х² тождественно обращает в нуль левую часть уравнения ху' — 2х² = 0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Пусть дано дифференциальное уравнение (9.1). Если функция f(x,y) и ее частная производная f'_y(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (x₀, у₀) этой области существует единственное решение уравнения (9.1), удовлетворяющее условию у = у₀ при х = x₀.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области D проходит только одна интегральная кривая. Условия, которые задают значение функции у₀ в фиксированной точке x₀, называют начальными условиями (условиями Коши) и записывают в такой форме:

Задача нахождения решения уравнения (9.1), удовлетворяющего условию (9.2), называется задачей Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (x₀, y₀) области D.

В ряде случаев, когда условия теоремы Коши не выполнены, через некоторые точки плоскости Оху либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит более одной интегральной кривой; эти точки называются особыми точками данного дифференциального уравнения.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.1) называется функция у = φ(x, С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С.

Определение 4. Частным решением уравнения (9.1) в области D называется функция у = φ(х,С₀), полученная при определенном значении постоянной С = С₀.

Общее решение у = φ(x, С) описывает семейство интегральных кривых на плоскости Оху. Условия Коши (9.2) фиксируют произвольную постоянную С и позволяют выбрать из семейства интегральных кривых уравнения (9.1) одну интегральную кривую у = φ(x,C₀), проходящую через заданную точку (x₀, y₀).

Например, рассмотрим уравнение у' = 2х. Правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши во всех точках плоскости Оху (функции f(x, у) = 2х и f'_y(x, у) 0 определены и непрерывны на всей плоскости Оху). Нетрудно видеть, что общим решением уравнения является функция у = х² + С, где С — произвольная постоянная, описывающая семейство парабол (рис. 9.1). Для отыскания частного решения зададим произвольные начальные условия (9.2) и подставим их в формулу общего решения; получаем, что С = у₀ — x₀², откуда находим частное решение у = х² + у₀ – х₀². Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х₀, у₀).

Геометрический смысл уравнения первого порядка

Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой ее точке существует касательная. Из дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой ее точке равен правой части этого уравнения. Следовательно, уравнение первого порядка задает угловой коэффициент у' касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке (x, у) сопоставить отрезок, направленный под углом наклона α = arctg (f (x, y)) к оси Ох, то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом и заключается геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.

Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.

Пример 1. Построить поле направлений уравнения y' = x² - y.

Решение. Нетрудно видеть, что правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши единственности и существования решения при любых x и у, т.е. интегральные кривые заполняют всю плоскость Оху. Найдем линии, на которых наклон направлений одинаков, — так называемые изоклины. Так, если у' = 0, то имеем x² - у = 0, т.е. на параболе у = x² касательные к интегральным кривым горизонтальны (короткие черточки на рис. 9.2). При у' = 1 имеем х² — у = 1, т.е. касательные к интегральным кривым направлены под углом 45° к оси Ох на параболе у = х² - 1. Наконец, на параболе у = x² + 1 угол наклона касательных равен 135°. По полю направлений можно приближенно восстановить ход интегральных кривых (сплошные линии).