8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение и необходимые условия существования локального экстремума

Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М₀ (x₀, у₀) — некоторая точка этого множества.

Определение. Функция z = f(x, у) имеет в точке М₀ локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки M₀, принадлежащая {М}, что для любой точки М(х, у) из этой окрестности выполняется неравенство f(M) ≤ f(M₀) (f(М) ≥ f(М₀)); для случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласно данному определению локального экстремума (минимума или максимума) полное приращение функции z = f(M) — f(М₀) удовлетворяет одному из условий в окрестности точки M₀:

Δz ≤ 0, если M₀ — точка локального максимума;

Δz ≥ 0, если M₀ — точка локального минимума.

Теперь установим необходимые условия существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 2. Если функция z = f(x, у) имеет в точке M₀ (x₀, y₀) локальный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю:

Для случая функции двух и более переменных необходимое условие существования локального экстремума имеет вид, аналогичный (8.10); все частные производные первого порядка должны обращаться в нуль в точке M₀.

Следует особо отметить, что условия (8.10) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = х² — у² частные производные равны нулю в точке O(0, 0), однако в этой точке функция (которая является уравнением гиперболического параболоида) не имеет экстремума: f(0, 0) = 0, но в любой окрестности точки О есть значения функции как положительные, так и отрицательные.

Точки, в которых выполняются условия (8.10), называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.

Рассмотрим задачи на отыскание возможного экстремума функций.

Ррешение. Согласно условиям (8.10) имеем = 0 и = 0, откуда получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решение этой системы х = 1, у = 2, т.е. точка с координатами (1, 2) является стационарной для данной функции двух переменных.

Решение. По условию (8.10) все три первые частные производные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными

Решение этой системы дает единственную стационарную точку возможного экстремума: (3, -4, 2).

Достаточные условия существования локального экстремума

Рассмотрим случай функции двух переменных z = f(x, y), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные этой функции , , в некоторой точке M₀ через а₁₁, a₁₂, a₂₂ соответственно. Тогда достаточное условие локального экстремума формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 3. Пусть в точке М₀(х₀, у₀) возможного экстремума функции и = f(x, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда если

то функция и = f(x, y) имеет в точке М₀ локальный экстремум: минимум при а₁₁ < 0 и максимум при а₁₁ > 0. Если же а₁₁а₂₂ — a₁₂² ≤ 0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке M₀.

Пример 3. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = х³ — у³ — 3ху.

Решение. Сначала находим стационарную точку из условий = = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными

решения которой дают координаты двух точек (0, 0) и (-1, 1). Найдем вторые производные:

откуда получаем Δ = а₁₁a₂₂ — а₁₂² = -36xу — 9. В точке (0, 0) имеем Δ < 0, и, значит, в ней нет локального экстремума. В точке (-1, 1) получаем Δ = 27 > 0, т.е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а₁₁ < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней: u_max = f(-1, 1) = 1.