Глава 7. Определенный интеграл
7.1. Условия существования определенного интеграла
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:
Выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi:
Теперь образуем сумму произведений:
которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. Геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п).
Введем еще одну величину. Обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения:
Определение. Конечный предел I интегральной суммы σ при λ → 0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b]:
Определенный интеграл обозначается символом
Если определенный интеграл (7.2) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [а, b], числа а и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, х — переменной интегрирования.
Величина определенного интеграла, согласно данному выше определению, однозначно определяется видом функции f(x) и числами а и b. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.
Классы интегрируемых функций
Ответ на вопрос о том, какие функции являются интегрируемыми (т.е. существует определенный интеграл (7.2)), дают следующие теоремы, которые мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.
ТЕОРЕМА 2. Если определенная и ограниченная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
ТЕОРЕМА 3. Монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.
7.2. Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл
был определен
для случая, когда a
< b.
Обобщим понятие определенного интеграла
и на другие случаи.
По определению полагаем
как определенный интеграл на отрезке нулевой длины.
Также по определению полагаем, что
поскольку при движении от b к а все длины частичных отрезков Δxi = xi-1 — xi имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1).
2. Для любых чисел а, b и с имеет место равенство
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:
Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.
Будем полагать далее, что а < b.
5. Если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то
6. Если f(x) ≤ g(х) всюду на отрезке [а, b], то
7. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то
8. Если М и т — соответственно максимум и минимум функции f(x) на отрезке [а, b], то
