6.4. Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с использованием основных свойств неопределенных интегралов и таблицы простейших интегралов называется непосредственным интегрированием. Покажем это на примерах.
Метод подстановки
Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.
ТЕОРЕМА 1. Пусть функция х = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т, а Х — множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда если функция f(x) имеет первообразную на множестве Х, то на множестве Т справедлива формула
Выражение (6.1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Рассмотрим применение этого приема на примерах вычисления интегралов.
Решение. Здесь разложение по биному Ньютона представляется весьма сложным. Введем новую переменную t = х — 1. Тогда х = t + 1, dx = dt, и исходный интеграл преобразуется следующим образом:
Сделав обратную замену переменной, получаем окончательный ответ:
Решение. Положим t = 2 - х, тогда х = 2 - t, dx = -dt. Отсюда по формуле (6.1) получаем
Решение. Преобразуем этот интеграл, переписав его в виде
Из вида подынтегральной функции следует, что целесообразно ввести новую переменную t = sin x. Тогда 1 — sin2 х = 1 — t2, dt = cos x dx; подстановка в интеграл дает
Здесь использован табличный интеграл 10.
Решение. Введем новую переменную t = x4 и выполним все необходимые операции: x8 + 1 = t2 + 1, dt = 4xзdx, откуда имеем
Решение.
Положим t =
х2
+ 1, тогда dt
= 2х
dx или xdx
=
,
и данный интеграл принимает вид
табличного интеграла:
Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет первообразную на промежутке X, причем справедлива формула
С учетом вида дифференциалов функций v'(x)dx = dv и u'(x)dx = du равенство (6.2) часто используют в форме
Равенство (6.2) (или (6.3)) называется формулой интегрирования по частям.
В интегрировании
по частям самым сложным является выбop
в подынтегральном выражении сомножителя
v'(x)
dx
= dv.
Под знак
дифференциала d
можно в принципе внести все что угодно;
однако выбор должен быть таким, чтобы
интеграл в правой части (6.2) был проще
исходного, а не сложнее. В этом смысле
метод интегрирования по частям позволяет
свести интеграл
dv
к интегралу
du,
вычислить который существенно проще.
Рассмотрим примеры нахождения интегралов
методом интегрирования по частям.
Пример 8.
dx.
Решение. Здесь берем и(х) = ln x, dv = dx, т.е. v = х. По формуле (6.2) получаем
В общем случае
интегралы вида
ln
х dx,
где п ≠ 1
— целое число, берутся только
интегрированием по частям: и
= ln x,
xndx
= dv, т.е. v
= хn+1
/(п
+ 1). Аналогичным образом берутся и
интегралы вида
arctg
x
dx.
Пример 9.
dx.
Решение. В этом случае и = х, eхdx = dv = d(ex), тогда по формуле (6.2) имеем
Интегралы вида
dx,
где п > 0
— целое
число и k
≠ 0
— любое
число, берутся n-кратным
интегрированием по частям до исчезновения
степени х
в подынтегральной функции; при этом
каждый раз под знак d
вносится еkx,
т.е. ekxdx
= dv
=
d(еkx).
Ррешение. Интегралы вида cos kx dx и sin kx dx, где k — любое число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям повторяется n раз:
cos kx dx = dv = d (sin kx), затем sin kx dx = - d(cos kx) и т.д.
В данном случае мы имеем
Введем понятие рациональной функции от двух переменных. Это функция, полученная из переменных и и v путем проведения над ними арифметических операций. Например, функция
является рациональной от переменных u и v. В свою очередь переменные и и v также могут являться функциями. Например,
Рациональная функция от sin х и cos х
Рассмотрим интеграл вида
где R — рациональная функция. Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой
Действительно,
Подстановка формул (6.5) в интеграл (6.4) дает
где R1(t) — другая рациональная функция аргумента t. Рассмотрим примеры вычисления интегралов, содержащих рациональные функции от sin x и cos x.
Решение. Подставляя сюда формулы (6.5), после очевидных упрощений получаем
Пример 12.
dx,
т и
п — натуральные
числа.
Решение. Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности m и п употребимы три следующих варианта.
1) m — четное, n — нечетное, подстановка t = sin x.
2) т — нечетное, n — четное; подстановка t = cos x.
3) m и n — оба нечетные; любая из двух подстановок 1 или 2.
4) m и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проверить каждое слагаемое по пп. 1-3.
Например, найти
интеграл
dx.
Согласно п. 2 выполним подстановку t = cos x; тогда dt = - sin x dx, sin4 x = (1 — t2)2; отсюда имеем
Рациональная функция от еx
Интеграл вида
рационализируется подстановкой
Пример 13.
Найти интеграл
.
Применяя подстановку (6.6), получим
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования.
Вычислить интегралы методом подстановки.
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.
