5.3. Исследование функций и построение графиков

Признак монотонности функции

Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x₀ в некоторой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x₀) > f(х) (f(x₀) < f(x)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x₀) = 0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а значит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x₀ — точка возможного экстремума, т.е. f'(x₀) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x³ (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.

ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀. Если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x₀ функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x₀.

Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.

Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х³ — 7,5x² + 18x.

Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x² — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х² — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x₁ = 2 и x₂ = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x₁ =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x₂ = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.

Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (- ,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, + ) функция монотонно возрастает (f'(x) > 0).

Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при которых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта задача имеет производственный смысл: найти оптимальные размеры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.

Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr²h, выразим h:

Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой

Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:

Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, откуда получаем уравнение 2r — V / π r² = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:

Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки составят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см.

Выпуклость и точки перегиба графика функции

Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).

Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказательства.

ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 3. Точка М(x₀, f(x₀)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x₀, в пределах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).

ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)) и функция f(x) имеет в точке x₀ непрерывную вторую производную. Тогда

Отметим, что не всегда условие f"(x₀) = 0 означает наличие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x²ⁿ (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.

ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть в некоторой окрестности точки x₀ вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x₀. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x₀, f(x₀)).

Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в некоторой окрестности точки x₀ за исключением самой точки x₀ и существует касательная к графику функции в точке М. Например, функция f(x) = x^1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x^5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рассмотрим примеры: найти точки перегиба и направления выпуклости графиков следующих функций.

Пример 3. f(x) = ехр (-x²).

Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x²), f"(x) = 2 exp (-x²)(2x² — 1). Приравнивая вторую производную к нулю, получаем критические точки х = ±1/ . Ввиду зависимости функции от х² достаточно исследовать точку x = l/ . Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на левой ветви функции точка M₁(-1 / , e^-1/2) является точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М₂(1/ , е^-1/2) графика функции имеет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.

Пример 4. f(x) = ln (х² – 2x + 2).

РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x₁ = 0, x₂ = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M₁ (0, ln 2) графика функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М₂ (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.

Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые называются асимптотами. Неограниченность приближения графика функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно + или - .

Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е^1/x имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) при х 0+.

Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ± , если f(x) можно представить в виде

где α(х) 0 при х ± .

Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.

Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим

т.е. k = . Затем из равенства (5.9) находим:

Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функций.

Пример 5. f(x) = .

Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

Затем находим наклонные асимптоты:

Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты

Пример 6. f(x) = х + e^-x.

Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид

Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (- , 0) (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х 0 бесконечен: f(x) + при х 0-, f(x) - при х 0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.

6. f"(x) = —2/х³ — критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.