5.2. Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена
Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и является реализацией этого принципа. Любые функции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочлена некоторой степени. Многочлены же являются наиболее простыми элементарными функциями, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т.д.
* Колин Маклорен — шотландский математик (1698 — 1746).
Итак, функцию f(x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:
Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f(x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f(x) в виде многочлена, коэффициенты которого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену о(xn).
Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.
Пример 1. f(x) = еx.
Решение. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n)(0) = е0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид
Формула (5.3) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем приближенное значение числа е ≈ 2,7182818 ....
Пример 2. f(x) = sin x.
Решение.
Нетрудно проверить, что f(n)(x)
= sin
;
отсюда имеем
Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению
Пример 3. f(x) = cos x.
Решение.
По аналогии с функцией синуса имеем
,
откуда получаем
Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:
Пример 4. f(x) = ln (l + х).
Решение.
Так как
,
то f(0)
= 0,
;
подстановка в формулу (5.2) приводит к
разложению функции ln (1 +x)
по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):
Пример 5. f(x) = (1 + x)α, где α — вещественное число.
Решение. Производная n-го порядка имеет вид f(n)(x) = α (α - 1)( α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α-n, т.е. f(n)(0) = α (α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:
В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f(n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Ньютона:
т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.
Формула Маклорена в асимптотических формулах и вычислениях пределов функций
Формулы (5.3)-(5.7) представляют собой асимптотические формулы (или оценки) соответственно для функций eх, sin x, cos x, ln (l + x), (1 + x) α при x 0. Аналогичные разложения можно получить с использованием формулы (5.2) и для других функций. Асимптотические формулы эффективно применяются при вычислении пределов функций. Покажем это на примере.
Пример 6.
Найти
.
Решение. Применяя формулу (5.2) при п = 2, получаем
