Глава 5. Применение производных в исследовании функций
5.L. Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Будем говорить,
что отношение двух функций
при x
a
есть
неопределенность вида
,
если
Раскрыть эту
неопределенность означает вычислить
предел
,
если он существует.
ТЕОРЕМА
1 (теорема Лопиталя*).
Пусть
функции f(x)
и g(х) определены и дифференцируемы в
некоторой окрестности точки а за
исключением, быть может, самой точки
a. Кроме того, пусть
,
причем g'(х) ≠ 0
в указанной окрестности точки а. Тогда
если существует предел отношения
(конечный или бесконечный), то существует
и предел
,
причем справедлива формула
* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(х) удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции f(x) и g(х).
Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).
Теперь рассмотрим примеры.
Пример 1.
Здесь мы дважды последовательно применили правило Лопиталя, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .
Пример 2.
Пример 3.
Неопределенности вида
Будем называть
отношение двух функций
при х
а
неопределенностью
вида
,
если
,
-
или +
.
В этом случае правило Лопиталя остается
справедливым при замене условия
на условие
.
Пример 4.
Пример 5.
Другие виды неопределенностей
Неопределенности вида 0 ∙ и — можно свести к неопределенностям вида и . Покажем это на примерах.
Пример 6.
Найти предел
x
ln
x.
Решение.
Здесь неопределенность вида 0 ∙
.
Преобразуем функцию под знаком предела:
х
ln
х =
и теперь уже имеем неопределенность
вида
при х
0+.
Теперь, применяя
правило
Лопиталя, получаем
Пример
7.
Найти
(cosec
x
— ctg
x).
Решение. Это неопределенность вида — . Преобразуя функцию под знаком предела, получаем
Теперь это неопределенность вида при х 0. Правило Лопиталя дает нам
Рассмотрим неопределенности вида 00, 1 , 0, возникающие при вычислении пределов функций у = и(х)v(x). Неопределенности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 ∙ , уже рассмотренной выше, с помощью тождественного преобразования
Пример
8.
Найти предел
.
Решение. Это предел вида 00; используя формулу (5.1), имеем с учетом решения шестого примера
Пример 9. Найти предел
Решение. Это предел вида 1 . Найдем предел функции у = ctg x ln(1 + x) при x 0. В соответствии с представлением (5.1) имеем следующую цепочку равенств:
Следовательно, искомый предел равен
