4.2. Понятие дифференциала функции

Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x₀ называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции в этой точке:

Дифференциалом dx независимой переменной х будем называть приращение этой переменной Δx, т.е. соотношение (4.3) принимает вид

Из равенства (4.4) производную f'(x) в любой точке х можно вычислить как отношение дифференциала функции dy к дифференциалу независимой переменной dx:

Дифференциал функции имеет четкий геометрический смысл (рис. 4.3). Пусть точка М на графике функции у = f{x) соответствует значению аргумента x₀, точка N — значению аргумента x₀ + Δx, MS — касательная к кривой f(x) в точке М, φ — угол между касательной и осью Ох. Тогда МА — приращение аргумента, AN — соответствующее приращение функции. Рассматривая треугольник АВМ, получаем, что АВ = Δx tg φ = f'(x₀) Δx = dy, т.е. это главная по порядку величины Δx и линейная относительно нее часть приращения функции Δу. Оставшаяся часть более высокого порядка малости соответствует отрезку BN.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Приближенные вычисления с применением дифференциала функции основаны на приближенной замене приращения функции в точке на ее дифференциал:

Абсолютная погрешность от такой замены является, как следует из рис. 4.3, при Δx 0 бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с Δx. Подставляя в это приближенное соотношение формулу (4.4) и выражение для Δу, получаем

Формула (4.6) является основной в приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию f(x) = x^0,5 в окрестности точки x₀ = 1. Поскольку, как будет показано далее, производная этой функции вычисляется по формуле f'(x) = , то, принимая Δx = 0,07, получаем из формулы (4.6)

4.3. Правила дифференцирования суммы, произведения и частного

Приведем без доказательства одну из основных теорем дифференциального исчисления.

ТЕОРЕМА 2. Если функции и(х) и v(x) дифференцируемы в точке х₀, то сумма (разность), произведение и частное этих функций (частное при условии v(x) ≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующие формулы:

4.4. Таблица производных простейших элементарных функций

Производные всех простейших элементарно функций можно свести в следующую таблицу.

1. (С)' = 0, где С — постоянное число.

2. (x^α)' = αx^α-1; в частности, = - , ( )' = .

3. (log_ax)' = log_ae; в частности, (ln x)' = .

4. (а^x)' = a^x ln а; в частности, (е^x)' = е^x.

5. (sin x)' = cos x.

6. (cos x)’= -sin x.

7.(tg x)' = .

8. (ctg x)' = - .

9. (arcsin х)' = .

10. (arccos x)' = - .

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

Формулы, приведенные в таблице, вместе с правилами дифференцирования (теорема 4.2) являются основными формулами дифференциального исчисления. Отсюда можно сделать важный вывод: поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция, то операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.