Глава 4. Основы дифференциального исчисления
4.1. Понятие производной
Определение производной
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0 Х произвольное приращение Δx так, чтобы точка x0 + Δx также принадлежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f(x0 + Δx) — f(x0).
Определение 1. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел существует).
Для обозначения производной функции употребимы символы у' (x0) или f'(x0):
Если в некоторой точке x0 предел (4.1) бесконечен:
то говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет бесконечную производную.
Если функция f(x) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f'(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Определение 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).
Пусть точка М
на кривой f(x)
соответствует значению аргумента x0,
а точка N —
значению аргумента x0
+ Δx
(рис. 4.1). Из определения касательной
следует, что для ее существования в
точке x0
необходимо, чтобы существовал предел
,
который равен углу наклона касательной
к оси Оx.
Из треугольника
MNA
следует, что
Если производная функции f(x) в точке x0 существует, то, согласно (4.1), получаем
Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f'(x0) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной к графику функции у = f(x) в точке М(x0, f(x0)). При этом угол наклона касательной определяется из формулы (4.2):
Физический смысл производной
Предположим, что
функция l =
f(t)
описывает закон движения материальной
точки по прямой как зависимость пути
l
от времени t.
Тогда разность Δl
= f(t
+ Δt)
- f(t)
— это путь,
пройденный за интервал времени Δt,
а отношение Δl/Δt
— средняя скорость за время Δt.
Тогда предел
определяет
мгновенную
скорость точки
в момент времени t
как производную пути по времени.
В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f'(x), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f(x) и быстрее растет функция.
Правая и левая производные
По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.
Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x0 называется правый (левый) предел отношения (4.1) при Δx 0, если этот предел существует.
Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:
Если функция f(x) имеет в точке x0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают.
Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f(x) = |x|. Действительно, в точке х = 0 имеем f’+(0) = 1, f'-(0) = -1 (рис. 4.2) и f’+(0) ≠ f’-(0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.
Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x0, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция f(x), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x|; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.
Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.
Уравнение касательной к графику функции в данной точке
Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, проходящей через точку М(x0, у0) с угловым коэффициентом k имеет вид
Пусть задана функция у = f(x). Тогда поскольку ее производная в некоторой точке М(x0, у0) является угловым коэффициентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции f(x) в этой точке имеет вид
