3.7. Непрерывность элементарных функций

Непрерывность элементарных функций в точке

Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно, f(x) = С = f(а), что соответствует определению непрерывности функции в точке.

Функция f(x) = х непрерывна в каждой точке а числовой прямой, так как предел функции в точке а равен ее значению в этой точке: f(x) = а = f(a).

Из сказанного выше и теоремы 3.7 следует, что в любой точке числовой прямой функции x² = x ∙ x, x³ = x² ∙ х,..., xⁿ = x^n-1 ∙ x (n — натуральное число) непрерывны.

Алгебраический многочлен

также является непрерывной функцией в любой точке числовой прямой в силу теоремы 3.7, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

Дробно-рациональная функция

где Р(x) и Q(x) — алгебраические многочлены, в силу теоремы 3.7 непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя.

Тригонометрические функции sin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой.

Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + nπ; аналогично непрерывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспечена во всех точках x ≠ пπ (n = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точке, в окрестности которой они определены. В силу теоремы 3.7 функции, получаемые из них при использовании конечного числа арифметических операций, являются также непрерывными.

Непрерывность функции на интервале и отрезке

Говорят, что функция f(x) непрерывна на интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке a справа, а в точке b слева:

Классификация точек разрыва функции

Точки разрыва, в которых функция не является непрерывной, классифицируются следующим образом.

1. Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) либо не определена, либо ее значение f(а) не равно пределу в этой точке.

Пример 1. Функция f(x) = в точке х = 0, как известно, имеет предел, равный единице (первый замечательный предел). Однако в самой точке х = 0 эта функция не определена, т.е. здесь разрыв первого вида. Этот разрыв можно устранить (потому он и называется устранимым), если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию

Функция f₁(x) является непрерывной на всей числовой прямой.

2. Разрыв первого рода. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

.

Пример 2. Рассмотрим функцию

для нее точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода.

3. Разрыв второго рода. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 3. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, поскольку .

Пример 4. Для функции f(x) = sin (l/x) точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

Пример 5. Рассмотрим функцию f(x) = е¹/^x = ехр (рис. 3.8). Точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода для этой функции, так как предел слева равен нулю, а предел справа бесконечен:

Рис. 3.8