2. Задачи на случайные величины
2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа стандартных деталей среди отобранных.
2.2. Тираж календаря 50 тыс. экземпляров. Вероятность брака в одном календаре равна 0,0003. Найти вероятность содержания в тираже ровно 10 бракованных календарей.
2.3. Случайная составляющая дохода равна 2,5Х, а случайная составляющая затрат равна 40Y. Найти дисперсию прибыли при следующих условиях: случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,6; случайная величина Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = 3; случайные величины Х и Y являются независимыми.
2.4. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:
2.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х — числа отказов реле в 10 независимых опытах, если вероятность отказа реле в каждом опыте равна 0,1.
2.6. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.
2.7. Найти ковариацию и коэффициент корреляции Х и Y для двумерной случайной величины, распределение которой следующее:
2.8. Непрерывная случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = (arcctg x)/π. Найти вероятность того, что величина Х примет значение, заключенное в интервале (-1, 1).
2.9. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что Х примет значение: а) менее 1; б) менее четырех; в) не менее четырех; г) не менее семи.
2.10. Дискретная случайная величина дана законом рапределения:
Найти функцию распределения и построить ее график.
2.11. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти функцию распределения F(x).
2.12. Случайная величина Х задана на положительной полуоси Ох функцией распределения F(x) = 1 - е-3x. Найти математическое ожидание величины X.
2.13. Случайная величина Х задана на интервале (0, 2) плотностью распределения f(x) = x/8; вне этого интервала f(x) = 0. Найти функцию распределения и дисперсию величины X.
2.14. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = 2e-2x на интервале (0, ). Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию.
2.15. Случайная величина задана функцией распределения
Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
2.16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (5, 10).
2.17. Сторона квадрата измерена приближенно в интервале (а, b). Найти математическое ожидание и дисперсию площади квадрата, если его сторону рассматривать как случайную величину с равномерным распределением на этом интервале.
2.18. Размер женской обуви является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 37 и дисперсией 4. Какой процент от общего объема закупок следует предусмотреть магазину для обуви 38 размера, если этот размер находится в интервале (37,5, 38,5)?
2.19. Найти формулу плотности вероятности нормально распределенной случайной величины X, если математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна 36.
2.20. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания Х в интервал (5, 10) равна 0,2. Найти дисперсию.
П6. Задания по теме "Линейное программирование"
6.1. Найти область решений и область допустимых решений системы неравенств
Значения коэффициентов системы ограничений системы неравенств
6.2. Найти область решений и область допустимых решений и определить координаты угловых точек области допустимых решений системы неравенств
Значения коэффициентов системы ограничений системы неравенств
6.3. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
Составить математическую модель и провести экономический анализ задачи с использованием графического метода.
6.4. Фирма изготовляет два вида красок для внутренних (В) и наружных (Н) работ. Для их производства используют исходные продукты: пигмент и олифу. Расходы исходных продуктов и максимальные суточные запасы указаны в таблице.
Расход и суточные запасы исходных продуктов
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску для наружных (внутренних) работ никогда не превышает b3 т в сутки. Цена продажи 1 т краски для наружных работ — c1 ден. ед., для внутренних работ — c2 ден. ед.
Какое количество краски каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Значения коэффициентов условий задачи
Примечание. Если по условию задания спрос на краску для наружных (внутренних) работ не превышает b3 т в сутки, то в математической модели задачи следует принять, что коэффициент системы ограничений при неизвестном значении краски для наружных (внутренних) работ, обозначенный в таблице k1 (k2), равен 1 (0), а при неизвестном значении краски для внутренних (наружных) работ k2 (k1) равен 0 (1).
6.5. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Решить задачу симплексным методом при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.6. Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.
В производстве пользующихся спросом двух изделий, А и В, принимают участие 3 цеха фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает a1 ч, 2-й цех — a2 ч, 3-й цех — а3 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает d1 ч, 2-й цех — d2 ч, 3-й цех — d3 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более b1 ч, 2-й цех — не более b2 ч, 3-й цех — не более b3 ч.
От реализации одного изделия А фирма получает доход c1 р., изделия В — c2 р.
Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.
Значения коэффициентов условия задачи
6.7. Дана исходная задача
при ограничениях:
Составить математическую модель симметричной двойственной задачи. По решению двойственной или исходной задачи найти решение другой с использованием основных теорем двойственности.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.8. Дана исходная задача
при ограничениях:
Составить математическую модель несимметричной двойственной задачи. По решению двойственной или исходной задачи найти решение другой с использованием основных теорем двойственности.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.9. Решить транспортную задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.10. Решить транспортную задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.11. Составить математическую модель транспортной задачи и решить ее.
Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенных в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с двух складов D и Е, площади которых вмещают 30 и 25 т продукции соответственно. В связи с возросшим покупательским спросом фирма планирует расширить площади магазинов, поэтому их потребности в продукции с торговых складов составят 20, 35 и 15 т в день. Чтобы удовлетворить спрос на продукцию, предполагается строительство третьего склада, площади которого позволят хранить в нем 15 т продукции ежедневно. Руководство фирмы рассматривает два варианта его размещения. В таблице даны транспортные издержки, соответствующие перевозке продукции с двух существующих складов, и два варианта размещения нового склада.
Оценить две транспортные модели и принять решение, какой вариант размещения нового склада выгоднее. Предполагается, что остальные издержки сохраняют существующие значения.
Значения коэффициентов
6.12. Дана задача линейного программирования
при ограничениях:
Графическим методом найти максимальное и минимальное целочисленные решения задач.
Решить задачу методом Гомори, принимая по своему усмотрению стремление целевой функции к максимальному или минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.13. Дана задача параметрического программирования
при ограничениях:
Решить задачу симплексным методом.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
6.14. Решить транспортную параметрическую задачу, заданную распределительной таблицей
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.15. Решить задачу о назначении с использованием симплексного метода.
Районная администрация финансирует 5 инвестиционных проектов, каждый из которых может быть осуществлен в течение последующих трех лет. В связи с невозможностью финансирования в полном объеме определить, какие из инвестиционных проектов, обеспечивающих максимально чистые приведенные стоимости, могут быть осуществлены. Затраты, ожидаемые чистые приведенные стоимости (ЧПС) и ограничения по финансированию проектов приведены ниже.
Таблица обозначений
Таблица заданий по вариантам
Примечание. Задачу целесообразно решать на компьютере.
6.16. Решить задачу о назначениях.
В цехе предприятия имеется 5 универсальных станков, которые могут выполнять 4 вида работ. Каждую работу единовременно может выполнять только один станок, и каждый станок можно загружать только одной работой.
В таблице даны затраты времени при выполнении станком определенной работы.
Определить наиболее рациональное распределение работ между станками, минимизирующее суммарные затраты времени.
Значения коэффициентов распределительной таблицы
6.17. Решить задачу о назначениях.
Служба занятости имеет в наличии четыре вакантных места по разным специальностям, на которые претендуют шесть человек. Проведено тестирование претендентов, результаты которого в виде баллов представлены в матрице
Распределить претендентов на вакантные места таким образом, чтобы на каждое место был назначен человек с наибольшим набранным по тестированию баллом.
Значения коэффициентов матрицы
6.18. Дана задача линейного программирования с двумя целевыми функциями
при ограничениях:
Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его (решение математической модели рекомендуется проводить на персональном компьютере).
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
П7. Задания по теме "Нелинейное программирование"
7.1. Дана задача с линейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции, при этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять математическую модель задачи вида
при ограничениях:
с 6-го по 10-й вариант — вида
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевых функций и систем ограничений
7.2. Дана задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
7.3. Дана задача с нелинейной целевой функцией и нелинейной системой ограничений.
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функции, при этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять математическую модель задачи вида
при ограничениях:
с 6-го по 10-й вариант — вида
при ограничениях:
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
7.4. Решить задачу дробно-линейного программирования.
Для производства двух изделий A и В предприятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на данном типе оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в таблице.
Оборудование 1-го и 3-го типов предприятие может использовать не менее b1 и b3 ч соответственно, оборудование 2-го типа — не более b2 ч.
Определить, сколько изделий следует изготовить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного изделия была минимальной.
Значения коэффициентов условия задачи
7.5. Дана задача нелинейного программирования
при ограничении
Найти условный экстремум с использованием метода множителей Лагранжа.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
П8. Задания по теме "Динамическое программирование"
8.1. Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных: S(t) = 0, f(t) = r(t) — u(t).
Значения коэффициентов условия задачи
8.2. Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме.
Для модернизации предприятий совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн р. с дискретностью 50 млн р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его значения представлены предприятиями и содержатся в таблице.
Найти распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее фирме максимальный прирост выпуска продукции, причем на одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию.
Значения коэффициентов условия задачи
8.3. В трех районах города предприниматель планирует строительство пользующихся спросом одинаковых по площади мини-магазинов "Продукты". Известны места, в которых их можно построить. Подсчитаны затраты на их строительство и эксплуатацию.
Необходимо так разместить мини-магазины, чтобы затраты на их строительство и эксплуатацию были минимальные.
Значения коэффициентов условия задачи
8.4. Требуется проложить трубопровод на дачном массиве между двумя пунктами А и В таким образом, чтобы затраты на проведение работ (в тыс. р.) были минимальные.
Значения коэффициентов условия задачи
П9. Задания по теме "Сетевые модели"
9.1. Районной администрацией принято решение о газификации одного из небольших сел района, имеющего 10 жилых домов.
Расположение домов указано на рис. 9.1. Числа в кружках обозначают условный номер дома. Узел 11 является газопонижающей станцией.
Разработать такой план газификации села, чтобы общая длина трубопроводов была наименьшей.
Значения коэффициентов условия задачи
9.2. Транспортному предприятию требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 14. На рис. 9.2 показана сеть дорог и стоимость перевозки единицы груза между отдельными пунктами.
Определить маршрут доставки груза, которому соответствуют наименьшие затраты.
Значения коэффициентов условия задачи
9.3. Составить сетевой график выполнения работ и рассчитать временные параметры по данным, представленным в таблице.
Значения коэффициентов условия задачи
9.4. Постройте график работ, определите критический путь и стоимость работ до сжатия. Найдите критический путь и минимальную стоимость работ после сжатия.
Значения коэффициентов условия задачи
П10. Задания по теме "Теория игр"
10.1. Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платёжной матрицей. При этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работ принять платежную матрицу вида
с 6-го по 10-й вариант — вида
Значения коэффициентов платежных матриц
10.2. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.
1) Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
2) Если существует риск (вероятность реализации плана П1 — b%, П2 — с%, П3 — d%),то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?
Значения коэффициентов условия задачи
10.3. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья — А ден. ед., костюмы — В ден. ед. Цена реализации составит С ден. ед. и D ден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и К шт. костюмов, при прохладной погоде — М шт. платьев и N шт. костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.
Задачу решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма α, указанную в таблице.
10.4. Решить задачу с использованием "дерева" решений.
Фирма планирует построить среднее или малое предприятие по производству пользующейся спросом продукции. Решение о строительстве определяется будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на планируемом предприятии.
Строительство среднего предприятия экономически оправданно при высоком спросе, но можно построить малое предприятие и через 2 года его расширить.
Фирма рассматривает данную задачу на десятилетний период. Анализ рыночной ситуации, проведенный службой маркетинга, показывает, что вероятности высокого и низкого уровней спроса составляют А и В соответственно.
Строительство среднего предприятия составит С млн р., малого — D млн р. Затраты на расширение малого предприятия оцениваются в Е млн р.
Ожидаемые ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив:
• среднее предприятие при высоком (низком) спросе — F(K) млн р.;
• малое предприятие при низком спросе — L млн р.;
• малое предприятие при высоком спросе — М млн р.;
• расширенное предприятие при высоком (низком) спросе дает N(P) млн р.;
• малое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет и последующем низком спросе дает R млн р. за остальные 8 лет.
Определить оптимальную стратегию фирмы в строительстве предприятий по выпуску продукции.
П11. Задания по теме "Система массового обслуживания"
11.1. Контроль готовой продукции фирмы осуществляют А контролеров. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет В изд./ ч. Среднее время на проверку одного изделия — С мин.
Определить вероятность того, что изделие пройдет проверку, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы Р*обс ≥ D.
11.2. Приходная касса городского района с временем работы А часов в день проводит прием от населения коммунальных услуг и различных платежей в среднем от В человек в день.
В приходной кассе работают С операторов-кассиров. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента составляет D мин.
Определить характеристики работы приходной кассы как объекта СМО.
11.3. На АЗС установлено А колонок для выдачи бензина. Около станции находится площадка на В автомашин для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем С маш./ч. Среднее время заправки одной автомашины — D мин.
Определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.
