7.2.3 Перехідні процеси в колі з послідовним з'єднанням резистивно-індуктивно-ємнісних елементів елементів. Перехідний процес при вмиканні кола на постійну напругу

У нескомутованому колі (рис.7.7) струм . І напру-

га на конденсаторі

Рисунок 7.7

Електромагнітний процес в такому колі описується рів­нянням

У скомутованому колі вимушені складові струму й на­пруги на конденсаторі

Характеристичне рівняння можна записати як

звідки його корені

де

204

Вільна складова струму

Загальний вираз перехідного струму в колі

Сталі інтегруванняА₁ і А₂ визначаємо на основі значень струму і його похідної при t=0

звідки

Таким чином, перехідний струм в колі

і відповідно напруги на котушці і конденсаторі

Характер перехідного процесу залежить від того, які ко­рені характеристичного рівняння.

1.Корені дійсні і різні. Це має місце, коли, тобто

, де - хвильовий опір кола.

Оскільки а також , величини і

в часі зменшуються, відповідно струм і напруги и_L, і ис не змінюють свого напрямку, такий перехідний процес назива­ють аперіодичним. Зміну в часі цих величин зображено на рис.7.8, а.

2. Корені дійсні і рівні. Це має місце, коли , тобто Отже

При цьому

205

а) б)

Рисунок 7.8

Характер перехідного процесу аперіодичний Його нази­вають граничним аперіодичним, оскільки при подальшому зменшенні R процес стає коливальним.

3. Корені комплексно спряжені. Це має місце, коли тобто при При цьому корені характеристичного рівняння

де

Вирази струму й напруг набувають вигляду

206

Перехідний процес носить коливальний загасаючий ха­рактер. Період вільних коливань визначають як

На рис. 7.8, б побудовано криві і, и і,, ис під час коливаль­ного процесу.

У випадку, коли опір кола R=0. тоді і

Тут коливання будуть незгасаючими.

Швидкість загасання струму прийнято характеризувати декрементом коливань

або логарифмічним декрементом коливань, рівним

Перехідні процеси при короткому замиканні кола. У

нескомутованому колі, зображеному на рис.7.9, струм і напруга на конденсаторі

Рисунок 7.9

Усталені складові струму і напруги

Характеристичне рівняння має такий самий вигляд як, і в попередньому випадку. Тому струм

Для визначення сталих інтегрування приймаємо

207

звідки

Отже, загальні вирази перехідного струму, напруг на ко­тушці і конденсаторі мають вигляд

Характер перехідного процесу, як і в попередньому ви­падку, залежить від того, якими будуть корені характеристич­ного рівняння, дійсними чи комплексно-спряженими.

У першому випадку, коли , перехідний процес має

аперіодичний характер. Часові залежності для і, щ, ис цього випадку подано на рис.7.9, а. У другому випадку - коли пере­хідний процес має коливальний характер. Часові залежності коливального характеру наведено на рис.7.9, б.

а) 6)

Рисунок 7.10

208

7.3 Метод змінних стану

Цей метод аналізу перехідних процесів полягає у знахо­дженні основних перехідних величин, тобто струмів котушок і напруг кондесаторів, які повністю визначають енергетичний стан кола. їх називають змінними стану, оскільки перехідний процес є заміною одного енергетичного стану іншим.

Інші перехідні величини кола можуть бути знайдені че­рез змінні стану на основі рівнянь, складених за законами Кі-рхгофа.

Аналіз перехідних процесів в електричних колах мето­дом змінних стану здійснюється за таким алгоритмом:

1. Для скомутованого електричного кола за одним із ме­тодів аналізу усталеного режиму визначаються початкові зна­чення змінних стану X у вигляді стовпцевої матриці [Хо].

2. Для скомутованого електричного кола формується си­стема диференціальних рівнянь першого порядку змінних стану, які в матричнійформі мають вигляд

де: - стовпцева матриця змінних стану; [А] - квадратна матриця коефіцієнтів при змінних стану, що визначаються топологією кола і параметрами його елементів; [ V] - стовп­цева матриця джерел електричної енергії; [В] - стовпцева ма­триця пхр коефіцієнтів, джерелах електричної енергії, що ви­значають їх вклад у змінні стану.

Формальний розв'язок матричного диференціального рі­вняння можна записати як

Основна трудність цього розв'язку полягає у знаходжен­ні так званої матричної експоненти Тому для чисельного розв'язку такої системи диференціальних рівнянь доцільно безпосередньо використовувати стандартне математичне за­безпечення ЕОМ.

209

3. Формується система алгебраїчних рівнянь за законами Кірхгофа для визначення інших перехідних величин Y в колі через змінні стану у вигляді

де - матриці коефіцієнтів відповідно при змінних

стану і джерелах електричної енергії.

Перевагою цього методу є те, що відносно змінних стану досить легко сформувати систему диференціальних рівнянь першого порядку і для її розв'язання безпосередньо залучити ЕОМ. Тому метод змінних стану доцільно використовувати при аналізі перехідних, процесів в складних електричних ко­лах.

Загальну методику розрахунку перехідних процесів за цим методом розглянемо на прикладі кола, схема якого зо­бражена на рис.7.10.

Рисунок 7.10

1. У нескомутованому колі струми в котушках і напруга на конденсаторі рівні відповідно

Матриця початкових значень змінних стану

210

2. Система рівнянь, складених за законами Кірхгофа, для скомутованого кола

Формуємо систему диференціальних рівнянь для першо­го порядку відносно змінних стану

У матричній формі ці рівняння мають вигляд

де матриці

211

3. Система алгебраїчних рівнянь за законами Кірхгофа для визначення інших перехідних величин, наприклад через змінні стану

У матричній формі дематриці

Розв'язування диференціальних рівнянь змінних стану та алгебраїчних рівнянь інших перехідних величин викону­ється на ЕОМ з відповідним математичним забезпеченням.