3.4 Зображення синусоїдних функцій часу комплексними числами

Комплексним називають число, що має вигляд ,

де: і - дійсні числа, а - уявна одиниця. Комплек-

сне число може бути записане у трьох формах - алгебраїчній, тригонометричній і показниковій

де: - дійсна частина комплексного числа; - уявна частина комплексного числа (точніше, коефіцієнт при уявній частині); А і а - відповідно модуль і аргумент комплексного числа.

Для дійсної і уявної частин, модуля і аргументу комплекс­ного числа використовують позначення

Два комплексні числа, що мають рівні модулі і рівні за аб­солютною величиною, але протилежні за знаком аргументи, на­зиваються взаємно спряженими і позначаються

Всякому комплексному числу відповідає певна точка і від­повідний вектор на комплексній площині (рисунок 3.4,а). Поча­ток вектора суміщений з початком координат, а кінець - з даною точкою. Довжина вектора рівна модулю А , а кут між вектором і віссю дійсних значень - аргументу а комплексного числа. Спра­ведливе і обернене твердження - кожному вектору, проведеному

64

з початку координат, однозначно відповідає певне комплексне число. Таким чином, комплексні числа можуть зображатись як точками, так і векторами.

Від векторного зображення синусоїдних функцій часу мож­на перейти до їх забраження комплексними числами. Розглянемо довільну синусоїдну функцію часу . Зобразимо її обертовим вектором на площині комплексних чисел (ри­сунок 3.4,6), який в свою чергу можна зобразити комплексною функцією часу

а) б)

Рисунок 3.4

Звідси видно, що синусоїдна функція и дорівнює уявній ча­стині комплексної функції

Отже комплексна функція й зображує синусоїдну функцію и, що записують так:

де знак означає "відповідає". Таке зображення функції часу на­зивають символічним, або комплексним.

Комплексну функцію можна представити у вигляді

65

Незмінне в часі комплексне число називають комплексною амплітудою синусоїдної функції. Множник називають оператором обертання.

Поділивши комплексну амплітуду на , отримаймо ком­плексне діюче значення

Комплексні діючі значення напруги, ЕРС чи струму часто коротко називають комплексною напругою, ЕРС чи струмом.

При зображені синусоїдних ЕРС, напруг, струмів комплекс­ними числами множник опускають, зображуючи їх відпові­дно комплексною ЕРС", напругою, струмом

3.5 Зображення сум, похідних та інтегралів

синусоїдних функцій комплексними числами

Вектор, що зображує суму кількох синусоїдних функцій од­нієї і тієї ж частоти, дорівнює геометричній сумі векторів, які зо­бражують ці функції. В свою чергу комплексне число, яке зобра­жує геометричну сум)' векторів, дорівнює алгебраїчній сумі ком­плексних чисел, що зображують ці вектори. Отже, комплексне число, яке зображує суму кількох синусоїдних функцій однієї і тієї ж частоти, дорівнює алгебраїчній сумі комплексних чисел, що зображують ці функції. Тобто, якщо

то

66

Встановимо зв'язок між комплексним числом, що зображує синусоїдну функцію часу, і комплексним числом, що зображує похідну тії інтеграл за часом від цієї функції.

Нехай

тоді

Тобто:

Отже комплексне число, яке зображує похідну (інтеграл) синусоїдної функції, дорівнює комплексному числу, що зображує цю функцію, помноженому (поділеному) на оператор

З викладеного випливає, що інтегродиференціальні рівнян­ня, які описують усталені режими в колах синусоїдного струму, можна замінити відповідними алгебраїчними рівняннями для зо­бражень синусоїдних величин.

67