92 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

2.5. Промежуточное положение математики

Согласно точке зрения Платона, математика занимает промежу­ точное положение, располагаясь ниже философии, но выше тех искусств и навыков, что относятся к видимому и ощущаемому миру. Главкон в диалоге «Государство» описывает ситуацию так:

Мне кажется, ты говоришь о сложных вещах. Однако ты хочешь установить, что бытие и все умопостигаемое при по­ мощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассма­ тривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из предположений. Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то, по-твоему, они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало. Рассудком же ты называешь, помоему, ту способность, которая встречается у занимающихся геометрией и им подобных. Однако это еще не ум, так как рассудок занимает промежуточное положение между мне-

нием и умом. — Ты выказал полнейшее понимание Аристотель рассматривал позицию Платона следующим образом:

«Платон утверждал, что помимо чувственно воспринимаемого и эйдосов существуют как нечто промежуточное математические предметы, отличающиеся от чувственно воспринимаемых тем, что они вечны и неподвижны, а от эйдосов — тем, что имеется много одинаковых таких предметов, в то время как каждый эйдос сам по себе только один»101.

а) По сравнению с ремесленными и художественными способ­ ностями и достижениями математика отличается тем, что она дости­ гает первой ступени абстракции. Да, она еще использует слова и

1°° Государство.511 с-е.

101 Аристотель. Метафизика. А6, 987Ь, 14-17.

Промежуточное положение математики 93

воззрения чувственного мира, однако обращается уже не к кон­ кретному образцу, а к более высокому умопостигаемому уровню:

Я думаю, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения... Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном102.

Другими словами, математик использует термины и наглядные вспомогательные средства, принадлежащие обыденной жизни, но следует понимать, что математические объекты — это не чувственные предметы, а идеальные, неизменные и независимые от времени сущности. По этому поводу математик Френкель пишет: «Дла Платона мир математики — это мир независимый, содержащий свои собственные законы, и этот мир выше физики в своем образе бытия. Существование математических вещей, следовательно, не зависит от мышления человека, так же как и от всяких внешних воздействий»103. Одним словом, объекты матема-

Государство. 510с-е.

103«Для Платона мир математики — это самостоятельный мир, несущий в себе свои собственные законы и превосходящий физический своим способом бытия. Существование математических объектов, таким образом, является независимым от человеческой мысли, как, в общем, и от любой внешней деятельности» [«Pour Platon le monde des mathématiques est un monde indépendant, portant en lui-même ses propres lois et supérieur au physique dans sa façon d'être. L'existence des êtres mathématiques est, de ce

94 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

тики — это «вечные идеи» , хотя математик, как правило, не идет дальше уровня абстракции, на котором строятся и доказываются его теоремы.

Математика является областью чистого абстрактного мыш­ ления, которое располагается где-то между простым мнением и разумным диалектическим познанием. Однако математическое мышление не является полностью «свободным плаванием», поскольку оно связано с эмпирической базой. Говоря современным языком, «профессиональные математики работают со знаковыми системами, имеющими какие-то интерпретации в реальном мире. Идеальное содержание этих интерпретаций представляет собой нечто в высшей степени устойчивое, более устойчивое, чем сам изменчивый мир эмпирических явлений»105.

б) Что касается отношения между математикой и философией, то может возникнуть вопрос, почему математика «обречена» занимать более низкую ступень, чем философия. Современные математики — если они вообще заботятся об отношении их специальности к философии, — безусловно, выразили бы протест по этому поводу. Однако точка зрения Платона, по крайней мере в его эпоху, имела «освобождающую» роль: она позволила выделить свое собственное поле деятельности не только для философов, но и

fait, indépendante de la pensée humaine comme, en général, de toute activité extérieure»] (Fraenkel. Sur la notion d'existence dans les mathématiques. P. 19).

Идеи представляют настоящую действительность; можно сказать, что они «существуют», но мы должны представлять их скорее не как «вещи», а как «силы»: «Я утверждаю теперь, что все, обладающее по своей природе способностью (δύναμιν) либо воздействовать на что-то другое, либо испытывать хоть малейшее воздействие, пусть от чего-то весьма незначительного и только один раз, — все это действительно существует. Я даю такое определение существующего: оно есть не что иное, как способность» (Софист. 247d-e). То, что мы ощущаем, например, прекрас­ ным, «становится прекрасным благодаря прекрасному» (Федон. ЮОе), т. е. идея прекрасного имеет силу делать какие-то вещи прекрасными.

Кричевец. В какой математике возможны стили математического мыш­ ления? С. 52.

Промежуточное положение математики 95

для математиков. Таким образом, математика смогла развиваться самостоятельно, не будучи ограниченной какими-либо фило­ софскими догмами. Очень верно пишет по этому поводу П. Гайденко: «Если бы математика не обрела уже в V в. до н. э. свой собственный предмет исследований, то мы не получили бы такое классическое наследие античной науки, как "Начала" Евклида»106.

Платоновская оценка отношений между математикой и фило­ софией имеет глубокие причины, которые требуют детального анализа. Одной из них является утверждение Платона о том, что математики используют «рассудок», в отличие от философов, пользующихся «умом» . Другая причина связана с разницей между математическим аксиоматическим методом и философскими исследованиями «первоначала», которая свидетельствует о том, что философы занимаются более высокой областью «умопости­ гаемого», чем математики . Вот как выразил это различие Карл

Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 6. Однако выделение не значит отделение. Это как раз цель данной работы — указать на неразрывную связь между платоновской философией и основанной на платонизме математикой. Эту связь, опять же, отчетливо показывает Гайденко: «Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древне­ греческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее — неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии — конец VI-V вв. до н. э. совпадает с периодом становления теоретической математики» (Там же. С. 16-17).

Государство. 511с—е.

Ср.: Государство. 511а-с — «Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образ­ ными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение. — Я понимаю: ты говоришь о том, что изучают при помощи геометрии и родст­ венных ей приемов. — Пойми также, что вторым разделом умопостигаемого я называю то, чего наш разум достигает с помощью диалектической способности. Свои предположения он не выдает за нечто

96 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Фридрих фон Вайцзеккер: «Математика, с ее обычными методами для Платона есть только подобие познания истинно сущест­ вующего, а не действительный пример такого познания. Дело в том, что математик дедуцирует, только исходя из данных предпосылок, но сами эти предпосылки он находит или принимает, но не может их доказать... Истинное познание, согласно Платону, должно было бы дать отчет и об этих предпосылках математики»109.

То, что математики не отдают отчета о своих предпосылках «ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно», не обязательно является следствием небрежности, но лежит в самой сути предмета. Хайдеггер удачно говорил о «простаивании»: в определенный момент рассмотрение прекращается: оно стоит, не продолжаясь далее этого места. «Это такое простаивание, где дело только собственно и состоит в том, чтобы занимать позицию в отношении какой-то вещи, так что она сможет встретиться с нами. Такой νοεΐν — это только простое и ясное представление этой вещи таким образом, что она говорит только из самой себя, и наши обсуждения и выявления не требуются. Здесь можно сказать: φαίνεται, т. е. вещь так и проявляется. Единственная возможность для нас — созерцать, и через созерцание осмыслять»11 . Вот до чего может дойти рассудок математиков.

Философ же не хочет останавливаться и не довольствуется «созерцанием» — в своем распоряжении он имеет диалектику, которая «провозглашается Платоном высшей из всех наук, завершающей все дело знания. «Не кажется ли тебе, — поучает платоновский Сократ, — что диалектика, как некое оглавление

изначальное, напротив, они для него только предположения, как таковые, то есть некие подступы и устремления к началу всего, которое уже не предположительно. Достигнув его и придерживаясь всего, с чем оно связано, он приходит затем к заключению, вовсе не пользуясь ничем чувственным, но лишь самими идеями в их взаимном отношении, и его выводы относятся только к ним».

Weizsäcker. Die Tragweite der Wissenschaft. S. 68.

Heidegger. Platon — Sophistes. S. 161.