Дефиниции 141

2.10. Дефиниции

Дефиниция, определение — это процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. По мнению некоторых исследователей, Платон сыграл значительную роль в истории

дефиниций с точки зрениях их правильного понимания и использо-

197

вания . Суть сократического метода, широко используемого Платоном в диалогах, состоит в том, чтобы ставить под вопрос используемые понятия до тех пор, пока не выявится их подлинное значение:

Ведь пока мы с тобою относительно него [софиста. — В. 3.] согласны в одном только имени, а то, что мы называем этим именем, быть может, каждый из нас про себя понимает посвоему, меж тем как всегда и во всем должно скорее с помощью объяснения соглашаться относительно самой вещи, чем соглашаться об одном только имени без объяснения198.

Например, когда платоновский Сократ начинает рассматривать «человека при тираническом строе»199, он сначала выясняет смысл такого важнейшего понятия, как «вожделение»:

По-моему, мы недостаточно разобрали вожделения — в чем они состоят и сколько их. А раз этого не хватает, не будет полной ясности и в том исследовании, которое мы пред-

200

принимаем

«Я считаю, что действительно в значительной степени именно благодаря влиянию Платона дефиниции играют в античной математике более важ­ ную роль, чем в современной» (Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathe­ matik. S. 40). Согласно Диогену, Платон первым «употребил в философии такие понятия, как "противостояние", "основа", "диалектика", "качество", "продолговатое число", "открытая плоскость граней"» (DL. III, 24).

Софист. 218Ь-с. Государство. 571а. Там же.

142СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

А.В. Родин описывает сущность сократического метода таким образом: «У платоновского Сократа есть один универсальный вопрос, с которого он начинает всякое теоретическое исследование:

"Что есть то, о чем идет речь?" (τί έστι). Ответ на такой вопрос назы­ вается определением (ορός)»201. Так и Сократ спрашивает Теэтета:

202

«Кто-то может понять имя чего-то, не зная, что это такое?» Особенность позиции Платона становится более ясной при

сравнении с номиналистическим подходом к дефиниции. Например, номиналист У. Куайн пишет: «Определения... должны рас­ сматриваться как сторонние соглашения, сокращающие запись. Вводимые ими новые обозначения должны рассматриваться как внешние по отношению к нашему базовому языку; единственное, так сказать, неофициальное оправдание нашего введения таких обозначений — это гарантия их однозначной устранимости в пользу базовой записи... цель определения, вероятно, состоит в сокра­ щении записи...» Другими словами, дефиниция как техническая аббревиатура никоим образом не отвечает на вопрос: «Что есть эта вещь?» Но для Платона все как раз наоборот: процесс определения должен именно раскрывать нам «суть вещи». Дефиниция в платоновском понимании действительно отвечает на вопрос: «Что есть эта вещь?», и ответ предполагается «определенным, т. е. единственным. Множественность полученных не увязанных между собой ответов свидетельствует о том, что вопрос остался без удовлетворительного ответа»

Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 21. Далее Родин пишет: «У платоновского Сократа вопрос "τί έστι" ("что это есть?"), ответом на который является родо-видовое определение, играет роль теоретического запроса, т. е. является вопросом, который пере­ водит речь в теоретическую сферу, предваряет теорию как таковую» (Там же. С. 25).

Теэтет. 147Ь.

Куайн. С точки зрения логики. С. 126.

Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 28.

Дефиниции 143

Например, в одном из диалогов Сократ спрашивает: «Что есть знание?» Ответы, даваемые собеседниками, не удовлетворяют его, так как они являются только примерами, а не дефинициями, поэтому Сократ замечает:

Стало быть, смешно в ответ на вопрос, что есть знание, называть имя какого-то искусства. Ведь вопрос состоял не в том, о чем бывает знание... Кроме того, там, где можно ответить просто и коротко, проделывается бесконечный путь. Например, на вопрос о глине можно просто и прямо сказать, что глина — увлажненная водой земля, а уж у кого в руках

205

находится глина — это оставить в покое В этот момент происходит интересное событие: собеседник

Теэтет приходит Сократу на помощь. Он хорошо понял суть дефиниций: надо подходящим способом соединить какие-то «вещи»

— возможно, очень большое или даже бесконечное количество феноменов — и подвести их под единое название, при этом «коротко и просто». Да, есть простые примеры определений: «Глина — это увлажненная водой земля». Но в философских обсуждениях задачи зачастую сложнее. Так, Теэтет вспоминает о вспомогательном примере из математики: Феодор доказал иррацио­ нальность V3, V5, ..., до Vi7, и потом они использовали дефиниции, чтобы осуществлять распределение (классификацию) бесконечного количества разных отрезков , иррациональных и рациональных. По словам Теэтета, ситуация была такова:

Феодор объяснял нам на чертежах нечто о сторонах квадрата [площадь которого выражена продолговатым числом], нала­ гая их на трехфутовый и пятифутовый [отрезки] соответст­ венно и доказывая, что по длине они несоизмеримы с однофутовым [отрезком]; и так перебирая [эти отрезки] один

205Теэтет. 147Ь-с.

206«По вопросу о несоизмеримости или иррациональности мы имеем прежде всего отрывок из "Теэтета", где Феодор доказывает несоизмеримость V3, V5, ... Vi7, после чего Теэтет создает общую теорию подобных "корней"» (Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. P. 304).

144 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

за другим, он дошел до семнадцатифутового. Тут его что-то остановило. Поскольку такого рода отрезков оказалось бесчисленное множество, нам пришло в голову попытаться найти какое-то их единое [свойство], с помощью которого мы могли бы охарактеризовать их все. — Сократ: Ну, и

нашли вы что-нибудь подобное? — Теэтет: Мне кажется, нашли. Взгляни же и ты207.

Акак же Феодор и Теэтет решили эту задачу?

Весь [ряд] чисел разделили мы надвое: одни числа можно получить, взяв какое-то число равное ему число раз. Уподобив это равностороннему четырехугольнику, мы наз-

208

вали такие числа равносторонними и четырехугольными Эти «равносторонние и четырехугольные числа» (мы называем

их «числа второй степени») соответствуют дефиниции Д\: числа, которые могут возникнуть из возведения в квадрат одного натурального числа. Их ряд начинается с чисел

1, 4, 9, 25, 36 и т. д.

Другие числа Феодор и Теэтет определили таким образом: эти числа

стоят между первыми, например три, пять и всякое другое число, которое нельзя получить таким способом, а лишь взяв большее число меньшее число раз или взяв меньшее число большее число раз. Эти другие числа мы назвали продолговатыми, представив большее и меньшее число как

209

стороны продолговатого четырехугольника Они соответствуют определению Д?. числа, которые не могут

возникнуть из возведения в квадрат одного натурального числа, и, согласно дефиниции, являются всеми остальными числами:

Теэтет. 147с-е. Там же. 147е. Теэтет. 148а.

Дефиниции 145

2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 и т. д.

Дальше они дали определение двух типов отрезков:

Всякий отрезок, который при построении на нем квадрата дает площадь, выраженную равносторонним числом, мы назвали длиной, а всякий отрезок, который дает разно­ стороннее продолговатое число, мы назвали [несоизмеримой с единицей] стороной квадрата, потому что такие отрезки соизмеримы первым не по длине, а лишь по площадям, которые они образуют. То же и для объемных тел210.

То есть «длина» — это отрезки длиной 1, 2, 3, 4, 5, ... Площади квадратов, построенных на таких отрезках, выражаются «равно­ сторонними числами» (1, 4, 9, 16, 25 и далее). А «сторона» — это отрезки, которые дают квадраты с площадью 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и т. д. Они представляют собой корни V2, V3, V5, Vô, V7, V8, VlO и пр., т. е. иррациональные числа (как мы называем их сегодня); с единицей соизмеримы эти площади, но не сами отрезки.

По рассказу Платона, Феодор доказывал иррациональность этих корней вплоть до Vi7. Мы не знаем, каким образом он делал это и почему остановился именно на V172". Но интересно, что Платон

210Там же.

211Ван дер Варден излагает возможные решения и показывает вероятную причину того, почему Феодор остановился на Vi7. См.: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 197-202. См. также: Burnyeat. The Philosophical Sense of Theaetetus' Mathematics. P. 502-505; там есть и возможные причины того, почему Теодор начал с V3, а не с V2. Способ доказательства Феодора и то, почему он остановился на Vi7, объясняется, по мнению Ж. Итара, тем, что все это доказательство может быть совершено при помощи одного только учения о четных и нечетных числах и что первое число, для кото­ рого этот способ не пригоден, как раз и есть 17. Рассуждение следующее. Используя современные термины, мы скажем: если разность двух целых чисел а - b делится на целое число m без остатка, то мы говорим, что они «сравнимы по модулю m», и пишем а = b (mod m). Значит, если а = Ь, то а - b делится по любому модулю. Теперь допустим, что у нас имеется

рациональное число plq так, что его квадрат делится без остатка, т. е. p2lq2 = N. Тогда мы имеем равенство р2 = Nq2 или р2 - Nq2 = 0. Значит,

146 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

был в курсе даже таких деталей. С точки зрения математики инте­ ресно также, что Теэтет «сумел общим образом охарактеризовать первый бесконечный класс иррациональностей, а именно таких, которые мы теперь обозначаем VN, где N — целое число, не являющееся полным квадратом. Ему принадлежит, по-видимому, следующая замечательная теорема: если площадь квадрата выра­ жается целым неквадратным числом, то его сторона несоизмерима со стороной единичного квадрата»212.

Итак, с помощью ясных, определенных дефиниций Феодор и Теэтет смогли поделить бесконечное множество M (множество чисел) на две группы А и Б так, что каждый элемент бесконечного множества M принадлежит к одной и только одной группе — А или Б, и при этом каждый элемент групп А и Б принадлежит к М. Это означает, что с помощью дефиниций в математике возможно соединять бесконечное количество элементов, хотя бы теоре­ тически.

Интересно также стремление Платона точнее определить то, что

213

мы называем «плоскостью» . В «Меноне» (74-76) он избегает уже принятого в то время, но не ясно определенного понятия επιφάνεια. Платон определяет три четких понятия, с помощью которых воз­ можно однозначно обозначить различные проявлении плоскости:

сравнение р2 = Nq2 будет сравнимо по любому модулю. Если же это сравнение не разрешимо по какому-либо модулю, то отсюда следует невозможность равенства р2 = Nq2. Для N = 2 получается знакомое доказательство из Евклида (X книга), а Феодор мог без труда показать, что при N = 3, 5... 15 сравнениер2 = Nq2 не разрешимо по одному из модулей 2 . Однако при N = 17 этот метод оказывается недостаточным, так как сравнение р2 = \lq2 (mod 2 ) разрешимо при любом к, и никакого заключения относительно возможности равенства р2 = 1 lq2 сделать нельзя (это рассуждение взято у Башмакова: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. 1. С. 74.) Как бы то ни было, Платон, хотя он не дает объяснений, говорит о каком-то математическом факте.

Башмаков. История математики с древнейших времен до начала XIX сто­ летия. Т. 1.С. 75.

Мы используем здесь исследования и диаграммы Гайзера (Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 248).

148 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

определяется через понятие, которое обозначает его однозначно, а не через фактическое упоминание указанного термина»215.

Но, как бы то ни было, в диалогах Платона ясно видно его стремление найти такие дефиниции, с которыми все собеседники смогут согласиться. При этом математические дефиниции служат образцами:

Итак, вперед! Ведь только что ты прекрасно повел нас. Попытайся же и множество знаний выразить в одном определении, подобно тому как, отвечая на вопрос о [несоизмеримых с единицей] сторонах квадрата, ты все их многообразие свел к одному общему виду216.

Образец того, как Платон с помощью дефиниций упорядочивает понятия, мы находим в следующем «упражнении» для студентов из диалога «Политик»:

Все, что мы производим и приобретаем, служит нам либо для созидания чего-либо, либо для защиты от страданий. А из того, что защищает нас от страданий, одни вещи служат противоядиями — божественными и человеческими, другие

— средствами защиты. Из последних же одни — это военное оружие, другие — охранные средства; а из охранных средств одни — это укрытия, другие же — средства защиты от холода и жары. Из этих средств одни — это кровли домов, другие — различные покровы. Из покровов одни — это ковры, другие — накидки. Из накидок же одни — цельные,

Russell. The Principles of Mathematics. P. 27. Ср. также: «Слово "опреде­ лимость" имеет точный смысл в области математики, хотя этот смысл соотносится с некоторым заданным набором понятий. В каждой системе понятий какой-либо термин может определяться с помощью этих понятий тогда и только тогда, когда он является единственным термином, имеющим к некоторым из этих понятий определенное отношение, которое само по себе является одним из указанных понятий. Но с философской точки зрения слово "определение" не использовалось, как правило, в этом смысле, и было, по сути, сведено к анализу идеи в ее составляющих. Такое применение неудобно и, я думаю, бесполезно...» (Ibid. Р. 111-112).

Теэтет. 148d.

150 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Найти подходящую «цепь», подходящий «путь», на котором мы получим точную дефиницию218, это, конечно же, особая непростая задача. «Каким образом, — спрашивает Чужеземец в диалоге «Политик», — отыскать путь политика? А ведь нужно его отыскать и, отделив его от других путей, отметить знаком единого вида; все другие ответвляющиеся тропки надо обозначить как другой единый вид, с тем чтобы душа наша мыслила знания в качестве двух видов»219. На этом пути необходимо дойти до самого конца:

Здесь нужно отметить, что существуют различные мнения о том, что такое дефиниция и какую роль дефиниции играют в научном дискурсе. Например, Карл Поппер считал, что не имеет смысла сначала определять употребляемые в дискурсе понятия. «Надо всегда придерживаться утверждений, теорий и их истинности. Никогда не надо ввязываться в

обсуждение словесных вопросов или вопросов о значении, и никогда не надо интересоваться словами... Надо всегда держаться в стороне от обсуждения понятий» (Поппер. Объективное знание. С. 293-294). Сам Платон, вероятно, согласился бы с Поппером. В «Законах» он пишет: «Ни мне, ни вам не подобало бы гоняться за словами... Ведь не ради благообразия или безобразия слов ведем мы это рассуждение сообразно с пониманием большинства людей, но рассуждаем о том, что в законах правильно по природе и что ошибочно» (Законы. 627с). Но даже в том случае, если мы ограничиваем роль языка и используемых терминов, мы все равно высоко оцениваем стремление Платона установить ясный фундамент для плодотворной дискуссии.

Политик. 258с. См. также: 262а-Ь — «Чужеземец: Ты весьма смело и с великим усердием произвел разделение. Но по возможности давай избежим этого в другой раз. — Сократ-мл.: Чего именно? — Чужеземец: Не следует одну маленькую частичку отделять от многих больших, да притом еще без сведения к виду: часть должна вместе с тем быть и видом. Прекрасно, если можно искомое тотчас же отделить от всего остального, коль скоро это сделано правильно, — подобно тому как сейчас, подумав, что здесь необходимо деление, ты подстегнул рассуждение, усмотрев, что оно клонится к людям. Но, милый, дело здесь не в изящных игрушках: это небезопасно, гораздо безопаснее серединный разрез, он скорее приводит к идеям. Это-то и есть главное в исследованиях». При этом Платон советует искать определение не только тщательно, но и «медленно»: «Чужеземец: Стало быть, не будем делить их, как тогда, принимая во внимание всех сразу, и не будем спешить немедленно перейти к государственному

Дефиниции 151

Чужеземец: Но, Сократ, так ли хорошо мы все это выполнили, как следует из твоих слов? — Сократ-мл.: Что ты имеешь в виду? — Чужеземец: Полностью ли, достаточно ли осветили мы наш предмет? Или нашему исследованию как раз более всего не хватает завершенного объяснения, хотя какое-то объяснение мы и дали?220

Но усилия того стоят: ведь на этом пути Платон надеется точно определить рассматриваемые понятия, как в математике221, так и в философии.

Правда, не все могут понять, в чем смысл этих усилий. Афиней передает нам отрывок из комедии Эпикрата, где иронически описан урок, на котором студенты под руководством Платона ищут под­ ходящие дефиниции:

—Скажи, что Платон, что Спевсипп, Менедем Мудрейшие? С кем рассуждают, Какая идея волнует умы, И что за предмет изучают они?

Коль толком узнал, ради Геи-земли, Что видел, что слышал, — мне правду скажи.

—Я все расскажу, ничего не забыл,

В гимнасиях при Академии был

искусству. Ведь мы теперь испытываем состояние в точности по пословице... — Сократ-мл.: Какое состояние? — Чужеземец: Поспешив с делением домашних животных, мы завершили деление медленнее» (Политик. 264а-Ь).

220Там же. 267с.

221О том, что Платон, вероятно, занимался поиском определений и в математике, говорит Хит: «Существует основание полагать, хотя это и не было сказано специально, что определение линии как "не дающей передышки длины" возникло в школе Платона, и сам Платон дает определение прямой линии как "таковой, у которой середина покрывает концы" [Arist. De sensu. 439а31] (это так для взгляда с любого конца, скользящего вдоль прямой линии); это представляется мне началом Евклидового определения...» (Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. 1.P.293).