УДК 1:51 ББК 87.3:22.1 3-56

Рекомендовано к публикации Редакционно-издательским советом

Русской христианской гуманитарной академии

Рецензенты:

д.ф. н., проф. Никоненко С. В. (Санкт-Петербургский государст­ венный университет),

д.ф. н., проф. Иванов О. Е. (Русская христианская гуманитарная академия)

Зеннхаузер В.

3-56 Платон и математика. - СПб.: Издательство РХГА, 2016. — 614 с. : ил. — (Античные исследования).

ISBN 978-5-88812-786-5

Настоящая книга представляет собой исследование роли математики в творчестве Платона. Она затрагивает, с одной стороны, понимание Платоном природы математического знания, связи математики и диалектики, роли математики в процессах воспитания истинных философов и граждан Каллиполиса. С другой стороны, автор исследует собственно математические представления и идеи Платона, место математики в его объяснении Космоса, человека, государства. Особое место в работе занимает исследование т. н. «математического платонизма», явления очень важного для истории и современного состояния математики. Завершают книгу приложения, где даются упражнения, позволяющие лучше понять значение математики для философского способа мышления.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся Пла­ тоном, античной философией, историей и современным состоянием математики.

УДК 1:51 ББК 87.3:22.1

Содержание

Предисловие

Мое первое знакомство с Платоном, произошедшее в школе, было неудачным. Диалоги казались мне слишком длинными, часто непонятными и даже скучными. К тому же я не видел в них настоящих диалогов между равноценными собеседниками, меня раздражала унизительная роль друзей Сократа, которым оставались лишь такие реплики, как: «Ты совершенно прав», «Как же иначе!», «Да, конечно». В дальнейшем, к счастью, картина постепенно стала раскрываться во всем богатстве своих деталей, и я начал понимать, почему некоторые авторы называют Платона «началом философ­ ствования» или даже «божественным». Тем не менее я был удивлен, когда узнал, что та математика, которую преимущественно изучают в наших школах и университетах, называется, согласно Паулю Бернайсу, «математическим платонизмом». Почему «плато­ низм»? Какие философские идеи Платона дают нам право неразрывно связывать имя древнего мыслителя с современной математикой? И тогда у меня возникло желание прочитать труды Платона именно под этим углом зрения.

Первые результаты моих исследований показались директору издательства РХГА профессору Р. В. Светлову заслуживающими внимания, и он предложил мне продолжить работу с целью возможной публикации. Я благодарен ему за эту поддержку, но написать целую книгу на русском языке, которым я владею только ограниченно, оказалось настоящим приключением! И все получи­ лось лишь благодаря неутомимым усилиям моей жены Ирины Викторовны и особенно ее дочери Марии Ларионовой, которые задавали «неудобные», но всегда полезные вопросы и терпеливо исправляли стилистические ошибки, — благодаря им текст стал более понятным и зазвучал «по-русски». Кроме того, хотелось бы сказать огромное спасибо редактору Всеволоду Королеву: он не только занимался многочисленными деталями, но и внимательно прочитал весь текст, предложив целый ряд мыслей по его улуч-

шению. Наша переписка и возникавшие в ее ходе дискуссии были очень интересны и полезны.

Эту книгу не обязательно читать от начала до конца: читатель вполне может ограничиться теми отрывками и упражнениями, которые сочтет интересными для себя. По этой причине я иногда допускал повторение той или иной важной для меня мысли, — думаю, тот, кто прочтет весь текст, согласится с высказыванием платоновского Сократа: «Есть хорошая пословица, что дважды и трижды нужно повторять прекрасное».

Янадеюсь, что данная работа послужит шагом к возобновлению

иуглублению дискуссий между философами и математиками. Подобные дискуссии были характерны для Академии Платона, но были бы весьма полезны для обеих сторон и в наше время.

Введение.

Цели и проблемы исследования

В данной работе рассматривается отношение Платона к мате­ матике . Мы собрали и проанализировали самые важные для нашей темы места из диалогов Платона , для того чтобы получить ответы на следующие вопросы: какую роль играла математика в филосо­ фии Платона? В чем Платон видел сущность и важность матема­ тики и как он ее использовал? Какую роль играл сам Платон в развитии математики? В двух словах, мы исследуем влияние мате­ матики на философию Платона, а также раскроем несколько пунктов влияния платоновских взглядов на формирование матема­ тики. Такое исследование имеет, по нашему мнению, значение, которое не ограничивается сферой античной философии и науки — «античная мысль потому и не утратила по сей день своей живейшей актуальности, что ее содержание выходит за рамки всякой культур­ ной и исторической ограниченности и непосредственно касается тех проблем, которые волновали людей на протяжении многих веков до

Греческое слово μάθημα означает «то, что изучается», а также «процесс учения». Архит Тарентский первым объединил геометрию, арифметику, астрономию и музыку под названием «математика», так как «они являются родственными» (Diels. Vorsokratiker 35. В. 1). В «Теэтете» (145 c-d) Платон также упоминает четыре отрасли, которые следует знать: геометрию, искусство счета, гармонию и астрономию. И в седьмой книге «Государ­ ства» Платон требует, чтобы стражи тщательно изучали «искусство счета, геометрию, астрономию и музыку». В данной работе мы следуем Архиту и объединяем эти предметы под названием «математика».

Самые важные цитаты из диалогов Платона даются здесь полностью, чтобы читателю не требовалось их искать специально. Эти цитаты даны мелким шрифтом, чтобы их можно было пропустить, если речь идет только о первом кратком знакомстве с темой. В дальнейшем для облегче­ ния чтения некоторые цитаты размещаются в примечаниях.

10 ВВЕДЕНИЕ

нас и продолжают волновать нас сегодня»3. Мы увидим также, что основные аспекты научного подхода Платона являют собой неустаревающий образец; его идеи и научные требования по-преж­ нему актуальны. Чтобы показать это более наглядно, в Приложении А мы описываем особенности так называемого «мате­ матического платонизма»; в приложении Б показываем, почему из различных направлений ученые обычно выбирают именно эту «платоническую» форму математики; в Приложении В приводим некоторые темы для философско-математических дискуссий; и в Приложении Г предлагаем в качестве примера ряд задач, которые можно использовать в курсе математики для гуманитариев.

Бертран Рассел в своем знаменитом труде «История западной философии» сравнил Платона с Аристотелем в следующей краткой формуле: «Платон был математиком, а Аристотель биологом»4. Это выражение может показаться на первый взгляд непривычным, особенно учитывая тот факт, что Платон был не профессиональным математиком и астрономом, а «философом-художником, фило­ софом-поэтом», как назвал его Асмус5. Однако дальнейшие рассу­ ждения покажут, что, по крайней мере, первое утверждение Рассела в определенном смысле соответствует действительности6.

Правда, оценить знания и заслуги Платона в области матема­ тики не так просто по следующим причинам:

Гайденко. История греческой философии в ее связи с наукой. С. 7.

Таков смысл в немецком переводе: «Plato war Mathematiker, Aristoteles Biologe» (Russell. Philosophie des Abendlandes. S. 190). В подлиннике мы читаем: «Plato was mathematical, Aristotle was biological» (Russell. History of Western Philosophy. P. 192). Русский перевод звучит немного более сдер­ жанно: «Платон проявлял склонность к математике, а Аристотель к био­ логии» (Рассел. История западной философии. С. 223).

Асмус. Платон. С. 159.

Ср. описание Бурбаки: «...Декарт и Лейбниц (оба — прекрасные мате­ матики), Платон (который был, по крайней мере, в курсе математики своей эпохи), Аристотель или Кант (о которых этого не скажешь)» (Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 21).

Цели и проблемы исследования 11

1. Р. В. Светлов, назвавший Платона «началом философство­ вания» , считает его творчество «универсальным, более универ­ сальным, чем творчество какого-либо иного из европейских

мыслителей» . Прокл называл его «ό θειος Πλάτων» , Шопенгауер коротко и ясно говорил о «божественном Платоне»10, а К. Олер использовал следующее сравнение, чтобы охарактеризовать вели­ чие и глубину платоновского учения: при чтении платоновских диалогов «часто чувствуется, что мы имеем дело с айсбергом, большая часть которого невидима» . Л. Витгенштейн, прочитав в какой-то книге изречение: «К смыслу "сущего" философы ныне не ближе, чем Платон», воскликнул: «Какое странное положение вещей. Сколь поразительно вообще, что Платон смог зайти так далеко! Или же, что мы не умели пойти дальше! В том ли причина, что Платон был столь умен?»12 Математик, логик и философ Уайтхед считал, что «самая надежная характеристика европейской философской традиции состоит в том, что она представляет собою ряд примечаний к Платону»1 . Наконец, можно процитировать физика-теоретика фон Вайцзеккера: «Платон является... единствен­ ным философом, с которым я чувствую себя как дома... Платон

Светлов. Русский Платон. С П .

8Там же. С 8.

9Prodi Diadochi in primum euclidis elementorum librum commentarii. Ex recognitione Gogofredi Friedlein. Lipsiae M.DCCCLXXIII. P. 116.

10Шопенгауэр. Мир как воля и представление. 1819. Предисловие к 1 изд.

11Oehler. Der entmythologisierte Platon. P. 415. (Цитата из Fritz: Schriften zur griechischen Logik. Band 1. S. 216).

12Витгенштейн. Культура и ценность. С. 426.

13Whitehead. Process and Reality. P. 39. Более подробно: «The safest general characterization of the European philosophical tradition is that it consists of a series of footnotes to Plato. I do not mean the systematic scheme of thought which scholars have doubtfully extracted from his writings. I allude to the wealth of general ideas scattered through them. His personal endowments, his wide opportunities for experience at a great period of civilization, his inheritance of an intellectual tradition not yet stiffened by excessive systematization, have made his writings an inexhaustible mine of suggestion».

12 ВВЕДЕНИЕ

мыслит о том, о чем Гете умалчивает, и круг его интересов шире, чем у Гете. Политика и этика, искусство и страсти, математическое естествознание, логика, онтология и мистика — все они имеют отношение к Платону»1 . Если это так, встает вопрос: кто из нас в принципе способен понять мыслителя такого масштаба и досто­ верно интерпретировать его творчество? Такие попытки, повидимому, являются всегда рискованным предприятием — на это решительно указывал Наторп в своем большом комментарии к Платону , и это, кстати, верно не только для нас, живущих в другой культуре, но и для самих греков: они, по мнению Никоса Диму, в подавляющем большинстве были подобны «сыновьям знаменитого философа, которые не могут понять его произведения, однако видят, что знатоки воздают им честь и хвалу». И Диму добавляет: «Это страшно, когда вы не только не можете превзойти работы своего отца, но даже не в состоянии понять их»16.

2. Платон не писал специальных трудов по математике; поэтому его точка зрения должна реконструироваться на основе разроз­ ненных фрагментов. К тому же эти отрывки не могут полностью передать всю глубину знаний автора — ведь нам хорошо известны сомнения Платона в способности письменного слова адекватно выразить истину1 .

14Weizsäcker. Selbstdarstellung. S. 587.

15Наторп пишет о текстах Платона: «У нас есть только небольшая стопка текстов, возникновение и смысл которых всегда были связаны с опре­ деленными историческими ситуациями, о чем их автор — художник, несравненной силой своего духа создавший целый мир — не оставил никаких сомнений. Кто мог бы быть столь самонадеянным, чтобы утверждать, что ему удалось воссоздать в себе этот мир, непосредственно предстоявший взору творца? "Ты можешь только то понять, что твоему уму под стать", — пожалуй, мог бы прозвучать ответ» (Natorp. Piatos Ideen­ lehre. S. 461).

16Dimou. Über das Unglück, ein Grieche zu sein. Nr. 53-54.

17О проблеме адекватного выражения мысли в устной и письменной формах речи см. параграф 4.4. Говоря в дальнейшем об «истине», мы будем иметь в виду философскую, «классическую» концепцию истины; другие

Цели и проблемы исследования 13

3. Еще одна проблема заключается в том, что само по себе наличие письменных документов вовсе не гарантирует нам ясности в их понимании. Тот, кто видел древние рукописи, может представить себе, как трудно их расшифровывать и как сомнительны бывают иногда результаты такой расшифровки. Даже хорошо сохранившиеся тексты не гарантируют наличия в них достоверной исторической информации: Алис Свифт-Ригинос, например, проанализировала 148 анекдотов о жизни Платона и пришла к выводу, что «они ненадежны в качестве источников информации об историческом Платоне... Очевидно, что почти все анекдоты являются продуктами двух противоположных тенденций

— к прославлению философа и к его очернению»18. Что касается наших представлений конкретно о математических взглядах и достижениях древних, то Д. Фаулер, проведя обширное исследование источников, пишет: «Наши знания о деталях доэвклидовой математики настолько отрывочны, что ее различные интерпретации больше похожи на религиозные убеждения, чем на позиции, которые можно доказать вне рамок веры» .

концепции, особенно используемые в математике (истина как согласо­ ванность, истина как средство, ведущее к успеху, и истина как соответ­ ствие), мы коротко рассмотрим в главе 6.

Swift Riginos. Platonica. P. 199.

Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. 404. И, как замечает Фаулер, эти околорелигиозные убеждения бывают очень твердыми: «Хотя создание исторических мифов может быть делом нетрудным, искоренить их бывает иногда невозможно, особенно когда они притягательны, заманчивы и заполняют неизбежные пробелы в нашем знании; истории о Пифагоре и Евклиде — прекрасная тому иллюстрация» (Р. 405). К примеру, согласно общему мнению, открытие иррациональности «вызвало первый в истории кризис оснований математики» (Гайденко), и в параграфе 2.8 мы расска­ жем историю о гибели человека, который проболтался о существовании иррациональных соотношений. Но, может быть, такие рассказы и пред­ ставления — это не больше чем «мифы»? Фаулер спрашивает: «Почему очевидные для нас затруднения, вытекающие из проблемы несоизме­ римости, не фигурируют ни в одном из ранних свидетельств? Следует подчеркнуть: то, что является затруднениями для нас, вовсе не обязательно

14ВВЕДЕНИЕ

4.Есть также проблемы, происхождение которых объяснимо, пожалуй, только психологически, но именно они часто приносят наибольшие трудности в сферу платоноведения. Светлов указывает на «стереотипы», «мистификации» и «заблуждения», которые

сплошь и рядом встречаются в комментариях к платоновскому учению20. И они характерны вовсе не только для второразрядных

исследователей Платона, — по Наторпу, даже Аристотель «совсем не понял основ учения Платона»! ] Шлейермахер написал о диалоге «Горгий» следующее: «Как и во всех доныне представленных

крупных диалогах Платона, основная его мысль была почти повсе­ местно неправильно понята»22. Как мы видим, недоразумения и предубеждения присутствуют не только в обыденной жизни, но даже и в мире ученых. Гуссерль, например, с горечью говорил о

недобросовестности некоторых рецензентов и критиков, полностью исказивших его учение23. Можно также привести слова Гете: «Отзывы моих друзей нисколько не отличались снисходитель­ ностью, и автору с многолетним опытом пришлось снова испытать, что как раз подаренные экземпляры приносят неприятности и огорчение» . Баал-шем, основатель хасидизма, воскликнул одна-

представляет затруднение для авторов этих свидетельств; возможно, они мыслили совершенно отличным от нашего образом» (Р. 365).

Светлов. Русский Платон. С. 17.

21Natorp. Piatos Ideenlehre. S. 429.

22Шлейермахер во введении к своему переводу диалога «Горгий».

23«Как неаккуратно относятся некоторые авторы к моим трудам с их прене­ брежительной критикой, с какой "добросовестностью" они читают, в каком вздоре они имеют смелость подозревать меня и феноменологию, мы можем увидеть на примере Морица Шлика...» (Husserl. Logische Unter­ suchungen. Bd. П/2. P. VI).

Гете. Судьба печатного текста. С. 87. Гете говорит здесь о группе друзей, которые читали его новую книгу: «В одном... городе образовался кружок ученых, которые сделали немало хорошего на теоретическом и практи­ ческом пути. В этом кругу усердно читалась и моя книжечка в качестве своеобразной новинки. Однако каждый был ею недоволен, и все уверяли: нельзя понять, что это значит?» (Там же. С. 82).

Цели и проблемы исследования 15

жды, увидев записи своего ученика: «Здесь нет ни одного слова, сказанного мной!»25 Подобная ситуация была известна уже Платону. Однажды он высказал по этому поводу следующее: «Вот что вообще я хочу сказать обо всех, кто уже написал или собирается писать и кто заявляет, что они знают, над чем я работаю, так как либо были моими слушателями, либо услыхали об этом от других, либо, наконец, дошли до этого сами: по моему убеждению, они в этом деле совсем ничего не смыслят... И вот что еще я знаю: написанное и сказанное мною было бы сказано наилучшим образом,

но я знаю также, что написанное плохо причинило бы мне силь-

26

неишее огорчение» .

5. Не стоит забывать и о сложностях перевода. Как убедительно писал Алексей Федорович Лосев в предисловии к своему труду «Критика платонизма у Аристотеля», «когда профан берет в руки критическое издание какого-нибудь греческого или римского классика или научный перевод его на тот или иной язык, ему и в голову не приходят те трудности, которые пришлось преодолеть издателю или переводчику. Взять ли издательскую и редакционную задачу с ее трудной, кропотливой и тонкой работой по сличению рукописей и установлению правильного текста, взять ли пере­ водческий труд с необходимо требуемым здесь хорошим знанием языка и терминологии писателя и умением найти соответствующие аналогии в другом языке — все это чрезвычайно ответственные

27

вещи, и в особенности — относительно античных текстов» . Примером таких трудностей может послужить только что про­ цитированное предложение Платона, переведенное на разные языки. Греческий подлинник звучит: «...και μην οτι γεγραμμένα κακώς ούχ ήκιστ' αν έμέ λυποΐ». Немецкий перевод: «...und da muss es mich denn doch sehr arg schmerzen, dass meine Gedanken entstellt in

Buber. Die Geschichten des Rabbi Nachman. S. 21. VII Письмо. 341 c-d.

Цит. по: Паршин. Идеальные числа Платона.

16 ВВЕДЕНИЕ

die Welt hinausgeschrieben worden sind» . Французский перевод: «...et que, à coup sûr, si l'écrit était mauvais, ce n'est pas moi qui en éprouverais le moins de peine»29. Английский перевод: «...and further, that if they should be badly stated in writing, it is I who would be the person most deeply pained» °. Русский перевод: «...но я знаю также, что написанное плохо причинило бы мне сильнейшее огорчение»31. Возникает вопрос: какой перевод лучше соответствует греческому подлиннику? Был ли у Платона такой прискорбный опыт (как много столетий позже у Гуссерля) на самом деле, или же он мысленно придумал эту ситуацию?32 Конечно, мы знаем, что каждый перевод в определенной степени является интерпретацией, зависящей не только от особенностей языка, но и от временных и культурных реалий. Иногда трудно определить подлинный смысл не только текста в целом, но и одного-единственного слова. Как перевести такие фундаментальные философские понятия, как λόγος , νους или övl Можно ли быть уверенным, что Платон понимал эти термины точно так же, как мы?34 Но проблемы перевода возникают также и с математическими терминами. Как перевести, например, греческое слово δροι, которое играет важную роль в математических дискус-

Platon. Sämtliche Werke. Dritter Band / Пер. Wilhelm Wiegand. Platon. Lettres / Пер. Luc Brisson.

Plato. VII / Пер. R. G. Bury.

Платон. Собрание сочинений в 4-х томах. Том 3. Часть 2.

Данные переводы грамматически корректны, но, по-моему, немецкий перевод лучше других, так как только в нем указывается, что Платон судил «обо всех, кто уже написал» (341с).

Теон Смирнский различал 12 значений слова λόγος у перипатетиков и 4 значения у Платона! (Теон Смирнский. Изложение математических пред­ метов, полезных при чтении Платона. 73).

Штенцель обращал внимание на то, что даже такое простое понятие, как «число», допускает совершенно различные интерпретации. «Прежде всего, насколько это возможно, должно быть уточнено, какое понятие числа в античной — ив современной! — полемике является предметом обсуж­ дения» (Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. 146).

Цели и проблемы исследования 17

сиях: «члены пропорции», «пределы интервалов», «предпосылки», «дефиниция» или «термин»? Или другой пример: ύπόθεσις интерпретируется по-разному Солмсеном и Фрицем, что ведет к серьезным расхождениям в понимании не только платоновской математики, но и учения Платона об идеях вообще . Наконец, возьмем конкретный пример: что означает δυνάμεις в рассуждениях Теэтета об исследованиях Теодора, касающихся иррациональных соотношений? Этот вопрос заставил попотеть бесчисленное коли­ чество толкователей, однако все их усилия не принесли желаемого результата37.

6. Число публикаций, посвященных Платону, так велико, что для неспециалиста практически невозможно знать всю релевантную литературу по этой теме. «Литература о Платоне неисчислима.

Количество статей и книг на тему "Платон и математика" можно

38

подсчитать, но их все еще слишком много...» В моем случае поло­ жение осложняется ограниченным знакомством с русскоязычными изданиями и необходимостью опираться в значительной степени на

Об этом подробно писал фон Фриц, высказав интересные мысли о важ­ ности не только «филологического», но и «критического» перевода (Fritz. Philologische und philosophische Interpretation philosophischer Texte. S. 1122).

Фон Фриц писал: «Самое трудное... — это, без сомнения, правильная интерпретация понятия ύπόθεσις. То, что ύπόθεσις не означает углы и треугольники рисованных фигур, как считает Солмсен, сразу понятно, так как Платон называет в качестве примера υποθέσεις наряду с σχήματα и γωνιών τριττα είδη также περιττόν и άρτιον, которые нельзя изображать. Также я считаю неправильным понимание этого термина у Наторпа, Штенцеля и т. д. — если называть только самых важных авторов. При этом мне совершенно ясно, что мое понимание противоречит всем прежним ис­ толкованиям этого понятия. Речь идет здесь о самых трудных проблемах, которые ведут в центр платоновского учения об идеях...» (Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathematik. S. 40-41).

См. об этом: Burnyeat. The philosophical sense of Theaetetus' mathe­ matics. P. 489-513, особенно p. 495-502.

Artmann, Mueller. Plato and mathematics. P. 2.

18 ВВЕДЕНИЕ

немецкоязычную литературу, из которой лишь немногие труды были переведены на русский язык.

7. Существуют и особые трудности: Штенцель говорил о текстах Платона как о «нелегко поддающихся интерпретации источ­ никах»39, Асмус утверждал, что «учение Платона не только очень богато содержанием, очень сложно, но и очень противоречиво» , а Андре Пишо обращал внимание на следующий простой, но решающий факт: «Почти 25 столетий отделяют нас от этих (плато­ новских) писем, и европеец XX столетия думает, без сомнения, иначе, чем грек V столетия до Рождества Христова»41. Сложность понимания древних текстов особенно ярко проявляется в матема­ тической области. Освальд Шпенглер на основе обширных математических знаний выявил обусловленные культурой различия в математическом мышлении. Он говорил о «фундаментальной противоположности античных и западных чисел»42, считая, что современный человек едва ли может представить себе математи­ ческое мышление древних. Шпенглер писал: «Здесь следует еще упомянуть соответствующее, очень глубокое и ни разу по достоинству не оцененное различие между античной и западно­ европейской математикой. Античное числовое мышление воспри­ нимает вещи как они есть, как величины, без отношения ко времени, чисто в настоящем. Это привело к Эвклидовой геометрии, математической статике и завершению системы учением о конических сечениях. Мы воспринимаем вещи с точки зрения их

становления и взаимоотношения, как функции. Это привело к динамике, аналитической геометрии и от нее — к дифференциаль­ ному счислению»4 . Опасность одностороннего подхода совре-

39Stenzel. Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. S. III.

40Асмус. Платон. С. 217.

41Pichot. Die Geburt der Wissenschaft. S. 484.

42Шпенглер. Закат Европы. I, 1, 13.

43Там же. I. Введение, 5. Проблема касается, естественно, не только мате­ матики, но и мышления и понимания в целом: «Русским философам, как,

Цели и проблемы исследования 19

менных ученых к древней математике подчеркивает А. В. Родин. Он критикует знаменитых математиков — особенно Давида Гильберта (автора «Оснований геометрии») и Николаса Бурбаки (автора «Эле­ ментов математики») — за то, что «в русле [их] прогрессистской методологии все старые математические тексты оцениваются по стандартам, принятым в современной математике, и при этом не учитывается, что этим текстам соответствуют свои, отличные от современных, математические стандарты... [Такая] методология предполагает весьма примитивный способ исторической рекон­ струкции» . Подобные трудности приводят к появлению в исследовательской литературе самых различных мнений по дан-

например, Соловьеву, непонятен космический солипсизм, лежащий в основе Кантовой "Критики разума" (каждая теория, как бы она ни была абстрактной, есть только выражение определенного мироощущения) и делающий ее самой истинной из всех систем для западноевропейского человека, а для современного китайца или араба с их совершенно иначе устроенным интеллектом учение Канта имеет значение исключительно курьеза» (I. Введение, 6). «Понадобилась вся религиозно-философская, художественно-историческая, социально-критическая работа XIX века, не столько чтобы, наконец, научить нас пониманию драм Эсхила, учения Платона, религии Аполлона и Диониса, Афинского государства и цезаризма, — нет, от этого мы еще очень далеки, — но чтобы заставить нас, наконец, почувствовать, как неизмеримо далеко и чуждо нам все это, пожалуй, более чуждо, чем мексиканские боги и индийская архитектура» (I. Введение, 10). Заключение таково: «Истины существуют только по отношению к определенному человечеству» (I. Введение, 15).

Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 6. В противоположность «примитивному» подходу, Родин предлагает «опосредовать старые математические тексты главным образом другими, нематематическими старыми текстами из изучаемого историко-культур­ ного ареала. Самая реальная альтернатива прогрессистскому подходу состоит в возможности сопоставлять старые математические тексты со старыми философскими текстами. В философских текстах мы можем найти прежние объяснения того, что такое математика, какой она должна быть и к чему должна стремится, и, наконец, что гораздо важнее, старые философские тексты дают нам в наиболее чистом виде само "старое понимание", так как в отличие от специальных наук философия имеет понимание в качестве своего предмета» (Там же. С. 7).

20 ВВЕДЕНИЕ

ному вопросу. По словам М. Я. Выгодского, виднейшие историки математики считают, «что арифметические знания и умения греков, в противоположность их геометрическим построениям, предста­ вляют собой нечто совсем примитивное»45, но его собственные исследования показывают, напротив, «что греки были умелыми вычислителями» . Можно привести и такой пример, касающийся непосредственно Платона: Ф. Солмсен утверждал, что Платон ока­ зал решающее влияние на процесс превращения математики в точную науку, а К. фон Фриц оспаривал это мнение . Такие кон­ фликты показывают, что даже эксперты, при всей их тщательности, интерпретируют платоновские тексты по-разному. Для Причарда эта ситуация досадна, но объяснима. Иногда это просто «неуместный энтузиазм по отношению к бесспорно великому уму Платона, сочетающийся с романтическим темпераментом. Чаще, однако, причиной является вполне объяснимое незнание истории математических идей — объяснимое потому, что те, кто пишет об этом аспекте мысли Платона, являются либо математиками, но не историками, либо специалистами по Античности, незнакомыми с историей математики. Но основная причина еще более понятна: это убеждение, что понятие числа является чем-то данным, не изменяющимся от культуры к культуре и от эпохи к эпохе»48.

Выгодский. Арифметика и алгебра в древнем мире. С. 301. Там же. С. 300.

См.: Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathematik. Фон Фриц особенно яростно оспаривает тезис Солмсена, о том, что Платон оказал опре­ деляющее влияние на Евдокса, преобразователя и новатора в сфере античной математики. Фон Фриц не отрицает определенного влияния Платона на античную математику, но это влияние, по мнению фон Фрица, совсем другого рода, чем утверждает Солмсен (S. 23).

Pritchard. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 1-2. В своем труде Причард подробно объясняет, почему платоновская философия математики явля­ ется философией IV в. до н. э. и отличается от наших представлений не меньше, чем взгляды египтян и вавилонян. «В частности, мы должны всегда помнить, что понятие arithmos довольно сильно отличается от нашего понятия числа, не только потому, что мы считаем отрицательные

Цели и проблемы исследования 21

8.Способ математического мышления древних греков сильно

отличался от нашего. Они, например, не знали алгебры и тракто­ вали проблемы и задачи в геометрической форме49. Математик и историк математики Д. Мордухай-Болтовской констатирует, что «очень трудно проникнуть в ход мыслей античного человека. Историк в большей или меньшей мере проектирует в прошлое настоящее» и дает следующий математический пример: «Лежандр, упрощая Евклида, не сознает, что это упрощение достигается

только изменением самого понимания геометрического доказа­ тельства»5 .

9.Некоторые ключевые для нашей темы места в платоновских диалогах могут быть непонятны читателям, не владеющим доста­ точными математическими знаниями. Это проблема касается даже ученых, специально занимающихся Платоном: фон Фриц, напри­ мер, упрекает своего противника Солмсена в том, что тот имеет «совсем неверное представление о математическом производстве» и, следовательно, недостаточно владеет математикой, чтобы полу­ чить корректные результаты из сложной конструкции правильных тел, представленной в диалоге «Тимей» (53-55). Можно обратиться

кдиалогу «Теэтет» (147d—148а), где обсуждается вопрос: что такое познание? В ходе этого обсуждения Теэтет, один из участников беседы, вспоминает о математическом исследовании его учителя Теодора о соизмеримости, которое помогло Теэтету создать новую

теорему. Если мы хотим понять то, что Платон излагает в

целые числа, рациональные, действительные и комплексные числа в равной степени числами, но потому, что даже общее понятие натурального числа не следует отождествлять с понятием arithmos» (Р. 17-18).

В конце параграфа 2.8 мы приводим пример чисто геометрического решения квадратного уравнения. Читатель получит, таким образом, хотя бы какое-то впечатление о древнегреческих методах. См. также: Прило­ жение Г2 («Один кусочек из Евклида») — современный читатель, наверное, с трудом справится с этими геометрическими изложениями.

Мордухай-Болтовской. Философия — Психология — Математика. С. 388. Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathematik. S. 25.

22 ВВЕДЕНИЕ

указанном отрывке устами Теэтета, нам необходимо обладать основательными историко-математическими знаниями52. Только в этом случае можно увидеть, насколько достоверно описывает Платон теорию Теодора и открытия Теэтета, в какой степени эти новые теории были ему известны и как он использовал их в своей философии53.

Эта теорема Теэтета звучит так: «Отрезки прямой линии, производящие квадрат, площадь которого является целым, но не квадратным числом, не имеют общей меры с единицей длины». Подробные комментарии к дан­ ному отрывку см.: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. На страницах 227-230 автор показывает, что математические объяснения и дефиниции Платона совершенно правильны.

По мнению Ван дер Вардена, упомянутый математический пример Теэтета не слишком подходит к обсуждаемому в диалоге вопросу. Он пишет: «Правда, этот пример несколько притянут за уши: он должен служить предисловием к философской дискуссии, но не очень подходит для этого. Для этого, на мой взгляд, имеется только одно объяснение: Платон хотел взять такой вопрос, которым математик Теэтет действительно занимался сам, а поэтому мы и можем пользоваться этим диалогом как историческим источником для реконструкции математических работ Теэтета» (Там же. С. 227-228). Все же в своем примечании к этому отрывку А. А. Тахо-Годи видит достаточно явную связь между математическим примером и фило­ софской темой. Она пишет: «Текст 147d-148b у многих комментаторов вызывал разного рода сомнения, которые можно преодолеть, только если принять во внимание следующее главное обстоятельство. Как бы ни понимать употребляемые здесь Платоном термины, во всяком случае ясно одно: если разных знаний много, то это значит, что есть некое знание вообще; если в геометрии имеются квадраты и прямоугольники, то это возможно только потому, что есть некая четырехугольная фигура вообще, и если существуют разные типы чисел, то это значит, что есть число вообще. Числа и фигуры привлечены здесь для иллюстрации этой мысли Платона относительно знания. Впрочем, здесь, возможно, содержится намек на некий способ доказательства несоизмеримости отрезка длиной V/i (где η — неквадратное число) с единичным отрезком. Термин δύναμις, который использует здесь Платон, имеет несколько математических значений: квадрата, квадратного корня, стороны квадрата, степени. Об употреблении этого термина Платоном см. книгу французского исследо­ вателя Ж. Суйе (Souilhé J. Étude sur le terme dynamis dans les dialogues de Platon. Paris, 1919)» (Платон. Диалоги. M.: Мысль, 1986. С. 478).

24 ВВЕДЕНИЕ

сведения об Антикитерском механизме, считает, что в свете новых данных нам необходимо пересмотреть наши представления о не­ которых эпохах в истории математики и астрономии. Этот пример показывает, что добиться идеально корректных представлений о научных знаниях и технических достижениях античности практи­ чески невозможно — это касается и интерпретации текстов Платона в данной работе .

* **

Если мы задумаемся над такого рода трудностями, помня при этом о многочисленных спорах и противоречивых высказываниях самых именитых платоноведов, зачастую бескомпромиссно защищающих полностью противоположные точки зрения, может возникнуть

вопрос, не является ли и наше исследование платоновского учения

со

весьма спорным и уязвимым для критики? К счастью, даже самые

Фаулер принципиально констатировал, что наши источники очень часто можно подвергнуть сомнению. «Доказательства многих рассказов не прослеживаются ранее времени, отстоящего на пятьсот, шестьсот, семьсот или даже восемьсот лет от самого события, и зачастую у нас мало инфор­ мации о том, являются ли эти рассказы подлинными, правдоподобными или вводящими в заблуждение» (Fowler. The Mathematics of Plato's Acade­ my. P. 204). Что же касается его собственной интерпретации, то Фаулер считает ее хорошо обоснованной, но все же добавляет: «Я сознаю, что какими бы правдоподобными и привлекательными ни были мои пред­ положения, они могут быть столь же неуместными или неправильными, как и многие до них» (Ibid. Р. 401).

С другой стороны, у этой ситуации есть и некоторые плюсы: она дает мне определенную свободу и беспристрастность. Я, безусловно, ограничен в моих представлениях, знаниях и интеллектуальных возможностях, но, по крайней мере, не обязан защищать чью-то точку зрения на философию Платона. Я принимаю к сведению авторитетные мнения с большим инте­ ресом (см., например, многочисленные сноски), однако не чувствую себя обязанным полностью соглашаться с ними. В этом смысле, я также не хочу быть «платоником» того или иного рода, а просто нахожу в высшей степени интересным читать диалоги Платона, особенно имея в виду мате­ матический аспект.