516 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛСЮОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

Глядя на это доказательство, один математик сказал: «Хорошее доказательство должно читаться как поэма, но это выглядит как телефонная книга!»

В12: Теории нечетных множеств

Философ, логик и математик Уиллард Ван Орман Куайн, который в принципе защищает закон исключенного третьего, однажды спросил, какова «цена» этой позиции. Проблема в том, что часто нелегко или совсем невозможно дать точный ответ: да или нет. Уже древние греки занимались парадоксом кучи: каждый раз, когда мы удаляем из кучи зерен одно зернышко, куча остается кучей и в конце концов получается «куча из нуля зернышек» . В этом случае мы можем, конечно, прийти к соглашению, что «куча» состоит не меньше чем из тысячи зернышек, — тогда точное определение возможно. Но Куайн приводит и другой пример: если мы будем постепенно отнимать от стола одну молекулу, когда стол перестанет быть столом? Здесь проблема намного сложнее. Если мы и здесь будем настаивать на двузначной логике, то должны будем предположить, что существуют физические объекты, кото­ рые идентичны вплоть до самой последней молекулы, благодаря которой один объект является столом, а другой нет. В процессе размышления о таких примерах «может случиться так, что мы разочаруемся в бивалентности и с грустью перейдем к тому, чтобы вглядываться в ее неопределенные и многозначные альтернативы в надежде найти что-то прочное» .

То, что принцип двузначности действительно не подходит многим явлениям и что следует найти более широкие альтер-

В традиционной форме этот софизм звучит так: Одна песчинка не образует кучу. Если добавить к ней еще одну песчинку, то это тоже не будет кучей. Если еще одну — тоже, и еще одну — тоже...

Следовательно, (л+1) песчинок не образует кучу. Но тогда и никакое число песчинок не образует кучу.

34 Van Orman Quine. Theorien und Dinge. S. 53.

Роль фантазии 517

нативы, А. И. Орлов описывает следующими словами: «Границы реальных совокупностей зачастую размыты... Э. Борель предложил описывать реальные совокупности функциями принадлежности, а Л. Заде и его последователи развили математический аппарат теории нечетких (размытых, расплывчатых, туманных, пушистых) множеств. Возникла возможность "нечеткого удвоения" матема­ тики: заменяя обычные числа и множества на нечеткие, получаем новые математические объекты (например, нечеткие классифика­ ции, т. е. нечеткие аналоги отношений эквивалентности), некото­ рые свойства которых отличаются от свойств исходных объек­ тов» . Как философ будет трактовать эту ситуацию?

В13: Роль фантазии

Для многих математика является самым сухим предметом, где надо просто «тупо изучать формулы». В этом есть какая-то правда, если мы смотрим только на результаты, особенно в их формальном виде, и если у нас пока нет чувства «красоты математических формул» . Но если мы спросим, каким образом математик получает свои результаты и как мы сами можем решать математические задачи, то значение фантазии, силы воображения и творческого ума становится очевидным. Они заложены в нас, но их надо стимулировать и развивать. Для этого существует педагогический

Орлов, Луценко. О развитии системной нечеткой интервальной матема­ тики. С. 190-191.

О красоте можно говорить долго; интересно, например, сравнить отно­ шение к ней Платона с той ролью, которую красота играет в современных

вищной», «но результат так красив. Так заманчив» (Смилга. Десять историй о математиках и физиках), и хотя красота не является главной движущей силой математики, но «...теория должна быть красива. Физик не всегда может логически обосновать новые идеи. Поэтому он апеллирует к интуиции. А если так — красота далеко не последний аргумент. Об этом много и настойчиво говорил Эйнштейн» (Там же).

518 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

метод, и о нем пишет А. И. Субботин: «Первый пункт этого метода имеет древнюю историю: умение усматривать (узревать) некое единство противоположностей считалось мистическим, присущим мудрецам, и пользовалось большим уважением. В наше время, когда нормативно-рационалистическое мышление столкнулось с неразрешимыми проблемами, востребовано рефлексивное, твор­ ческое мышление, дающее позитивные результаты. И запреты на те или иные формы такого мышления становятся анахронизмом. Как пишет П. С. Гуревич, "можно говорить о мистике как о поиске истины и реальности, которая выходит за пределы чувственной и интеллектуальной сфер... Мистик видит единство там, где обычный взор усматривает лишь многообразие и разобщенность. Мистический опыт — особое состояние сознания (мистическое соз­ нание)". Конечно, "чистый" мистик вполне удовлетворяется таким эйфорическим состоянием своего сознания, но педагогически важно учить ребенка не только достигать, но и использовать его — через фантазию — для конструирования в своем сознании кон­ кретных математических или иных преобразований, т. е. пере­ водить его именно в чувственную и интеллектуальную сферу, что­ бы делать, таким образом, открытия. Как писал Г. С. Альтшуллер: "Что значит управлять фантазией? Это значит уметь «включать» и «выключать» ее, менять ее «потенциал» и «направление» и, глав­ ное, направлять так, чтобы получить максимальную творческую

и 37

отдачу » .

Конечно, мы не можем скомандовать фантазии: «Немедленно включайся!» или активировать творческий ум, когда он нам нужен. Вспомним, что говорил Гаусс об «ударе молнии» , который от нас не зависит. Ван дер Варден также пишет, исходя из личного опыта, что для решения математической проблемы нужно как об­ думывание (размышление), так и идея (мысль, Einfall). Обдумы­ вание, серьезные интеллектуальные усилия и даже страдания

Субботин. Субстанциальная и операциональная реальности в математи­ ческих преобразованиях (педагогический аспект). С. 263.

Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25).

Математическо-философские семинары 519

необходимы, но «идея приходит не из сознания, также не приходит она через чувства извне. Однако откуда-то идея должна проис­ ходить, поэтому мы говорим: она происходит из бессознательного. Хорошая идея всегда несет в себе нечто таинственное; мы склонны называть ее божественной»39.

В14: Математическо-философские семинары

В течение многих лет в университете Цюриха проходили матема­ тическо-философские семинары — семинары различного уровня, проходившие с разными целями. В довольно узком кругу профес­ сора Дюрр, Финслер и Буркхардт подробно обсуждали основания теории множеств и ее философские предпосылки, и результат этих обсуждений был опубликован40. В более широком кругу, где были задействованы студенты, математики и философы, разбиралось, например, знаменитое и не очень сложное доказательство Туральфа Скулема, в котором говорится о невозможности охарактеризовать ряд чисел посредством конечного или счетно-бесконечного коли­ чества утверждений с исключительно числовыми переменными . Правда, такие дискуссии часто были довольно заковыристыми — математики и философы просто не понимали друг друга, — но все же они оказались вполне плодотворными и просвещающими. Они в каком-то смысле возродили традиции платоновской Академии, где Платон жил и работал в тесной связи с математиками.

Первое примечание: Чтобы такие семинары были успешными, надо иметь в виду: математики часто не привыкли обсуждать фило­ софские вопросы и не знакомы с философской терминологией, а некоторые философы уже забыли все, чему учились в школе, и

39Van der Waerden. Einfall und Überlegung. S. 3.

40Burckhardt. Zur Neubegründung der Mengenlehre, 1938. S. 146-165; 1939.

S.146-155.

41Skolem. Über die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen.

S.150-161.

520 ТЕМЫ ДЛЯ ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСКУССИЙ

математика для них теперь — «закрытая область». Поэтому реко­ мендуется начинать с простых любопытных упражнений, чтобы возбудить интерес обеих сторон. Можно — если привести хотя бы один пример — сначала продемонстрировать «ложное доказатель­ ство»42, которое (конечно, неправильно) использует метод от противного, и спросить: где здесь ошибка? Потом можно дать задание одному математику и одному философу сделать короткие доклады о сложностях строгого логического мышления.

Второе примечание: Существует и множество других интерес­ ных вопросов. Например, в работах Кантора зачастую можно обнаружить удивительные и странные результаты. Ведущий семинара может, допустим, рассказать о письме к Дедекинду, в котором Кантор спрашивает: можно ли сопоставить поверхность квадратной площадки с отрезком прямой таким образом, чтобы каждой точке поверхности соответствовала одна точка на этом отрезке, и наоборот? Кантор предполагал, что нет. Затем один из участвующих в семинаре математиков может привести доказательство Кантора, согласно которому ответ на самом деле будет положительным! А завершить семинар можно словами самого Кантора: «Я вижу это, но никак не могу в это поверить!» — словами, которым все участники семинара могут посочувствовать.

Утверждение'. 1 является самым большим естественным числом. Доказательство'. Мы используем доказательство от противного и предполагаем, что утверждение ложно, т. е. существует другое самое большое естественное число; пусть это будет JC. Значит, χ больше 1, т. е. существует неравенство 1 < JC. Значит, χ является положительным числом, поэтому мы можем умножить данное неравенство на JC и получить JC < JC2. Значит, JC2 больше JC, НО ЭТО противоречит предположению, что JC — самое большое число. Мы получили противоречие, следовательно, 1 действи­ тельно является самым большим естественным числом.