Недопустимые обобщения 539

зуемся помощью алгебры. Тогда мы находим для расстояния d следующую формулу:

и видим, что радиус шара здесь не фигурирует, следовательно, d не зависит от него.

Г4: Недопустимые обобщения

Обобщения часто встречаются как в повседневной, так и в научной жизни. Например, кто-то, встретив троих критян, которые произ­ вели плохое впечатление, может сделать вывод: «Все критяне лжецы, злодеи и лентяи». Поняв важнейшую роль экономики, сразу бросаются строить всеобъемлющую систему диамата. Заметив, что человек может считать от триллиона еще дальше, делают вывод, что он «в принципе» может считать до бесконечности. Много раз переживая окружающий мир как трехмерное пространство, делают вывод, что он действительно только трехмерен. Увидев, что в нашей жизни закон исключенного третьего работает верно: либо на столе лежит книга, либо нет, делают вывод, что этот закон можно применять также в ситуации бесконечного количества вещей. Убедившись, что духовная сфера имеет большое значение, сразу строят целую философскую систему на основе духа.

Математические и физические примеры полезны для того, чтобы сделать человека более осторожным, сдержанным, скром­ ным в суждениях. Есть такой анекдот: после автомобильной поездки по стране у физика спросили, были ли уже острижены овцы. Он ответил так: те стороны, что были обращены ко мне, не были... Можно сказать, конечно, что феномен полуостриженных овец, которые случайно или намеренно показывают физику неостриженную сторону, маловероятен, но в науке мы находим не менее маловероятные и неожиданные феномены.

Задача с веревкой вокруг футбольного мяча служит простым примером, доступным для каждого философа. Другой простой пример: у нас есть груз, который нужно перемещать с помощью цилиндрических роликов так, что расстояние между грузом и

Почему минус на минус дает плюс? 541

продолжит вычисления, неожиданно обнаружит, что для η = 41 f(n) = 1681, и это не простое число, так как 1681 = 41 .

В математике есть множество примеров, которые, по словам Межковского, показывают, что «имеются недопустимые обобще­ ния, которые не подтверждаются бросающимися в глаза ошибоч­ ными результатами»74. Межковский сам приводит как такие примеры, так и другие, которые мы, наоборот, сочли бы «невоз­ можными», но они являются истинными, — и опять наш опыт и наши утверждения оказываются не такими, как мы думали. Например, следующий тезис: «Каждый шар К с радиусом 1 равноразложен (zerlegungsgleich = ) к двум шарам К\ и Κι тоже радиусом 1», т. е.

К&К}, К±К2, Κ±ΚλΌΚ2 = Κ, КХС\К2 = ®

Этот результат полностью противоречит нашему опыту: одно яблоко, скажем мы, невозможно разрезать так, чтобы его части были равны частям двух яблок того же размера. Ну, папа не может, а математик может.. ,75

Г5: Почему минус на минус дает плюс?

Вопрос не простой. Я помню, что когда услышал в школе, что «минус на минус дает плюс», то удивился: как это? Конечно, если учитель сказал, что это так, то надо верить, но выглядит это загадочно. 5 умножить на 3, это понятно: 3 раза взять слагаемое 5, и получается 5-3 = 15. Уже менее очевидным является факт, что 3 умножить на 5 дает тот же самый результат: 3-5 = 15, ведь это совсем другая задача. Но опыт показывает, что последовательность множителей не имеет значения, и это можно подтвердить наглядно, если мы возьмем как множители стороны прямоугольника, а произ-

74Meschkowski. Mathematik als Bildungsgrundlage. S. 59.

75Доказательство у этой теоремы не простое, его можно прочитать в: Mesch­ kowski. Ungelöste und unlösbare Probleme der Geometrie. S. 138-155.

542 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

ведением станет площадь прямоугольника: его положение оче­ видно не имеет значение для площади.

3 раза

5 раза

Не очень трудна также задача «(-5) умножить на 3»: мы интер­ претируем (-5) как некий долг, и три таких долга, очевидно, составят долг (-15). Но совсем плохо обстоит дело с противо­ положной задачей: «5 умножить на (-3)» означает «минус три раза пять», что не имеет никакого смысла. К счастью, есть хитрый выход: мы скажем, что и здесь можно поменять множители — тогда, конечно, получается

5·(-3)« (-3)5 = -15.

Но рассмотрим теперь нашу задачу «минус пять умножить на минус 3», т. е. (-5)·(-3). Здесь перемена множителей не поможет,

и мы просто не в состоянии понять смысл этого выражения. Что же делать?

Есть два выхода, но оба они требуют расширения поля зрения. Первый путь обращается к алгебре. Формулируются законы, которые легко обосновать:

(я + Ь)'С = а-с + Ь-с a-(b-c) = a-b + c

и предполагается, что они действительны для любых чисел или терминов. Применяя их, мы выводим так: (-5)·(-3) = (0 - 5)·(-3) = 0·(-3)-5·(-3) = 0-5·(-3) = 0 - 5 · ( 0 - 3 ) = 0-[5·(0-3)] = 0-[(0-3)·5] = 0 - [ 0 - 5 - 3 - 5 ] = 0 - [ 0 - 1 5 ] = 0 - 0 + 1 5 = 0+15 = +15.

Другой путь использует представление о комплексных числах: «число» — это вектор в двухмерном пространстве, и «умножать» означает «растягивать и вращать». В нашем примере:

544 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Г6: Почему есть только пять правильных многогранников?

Выше мы обсудили так называемые Платоновы тела, т. е. правиль­ ные многогранники, которым Платон соположил четыре стихии (землю, воздух, воду и огонь). Платон знал, что есть и пятый многогранник, додекаэдр, и он ассоциировал его со Вселенной, без дальнейших объяснений. Но почему же есть пять и только пять таких тел? Найти ответ нетрудно, и гуманитариям будет особенно интересно, что одно из объяснений этого феномена принадлежит знаменитому Иоганну Кеплеру. Можно раздать текст всем учащимся, чтобы каждый попробовал разобраться в нем; потом можно все обсудить и прояснить неясности. Текст такой:

«Кроме упомянутых пяти тел [тетраэдр (пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр], нет больше ни одного тела с равносторонними и равноугольными гранями. Так как из двух треугольников или двух других фигур нельзя образовать вещественный угол. Из трех треугольников, однако, возникает угол пирамиды, из 4-х — октаэдра, из пяти — икосаэдра. Из шести равносторонних и равноугольных треугольников, которые соприкасаются в одной точке, нельзя образовать вещественный угол. Так как угол равностороннего треугольника составляет 2/3 прямого, 6 таких углов вместе составляют 4 прямых угла. И ничего не выходит — так как целый угол образуется из менее чем 4-х прямых (Евклид. XI. 21). По той же самой причине никакой вещественный угол не может образоваться из более чем 6-ти таких углов. Из 3-х квадратов возникает угол куба; из 4-х квадратов не возникает никакого вещественного угла, так как их углы — это вместе 4 прямых. Из 3-х равносторонних и равноугольных пятиугольников возникает угол додекаэдра. Из 4-х, однако, не возникает никакого вещественного угла. Так как угол равно­ стороннего пятиугольника составляет 1 1/5 прямого, 4 таких угла были бы больше, чем 4 прямых. И ничего не выходит. Также из других многоугольников нельзя образовать вещественный угол, так как из этого получилось бы нечто невозможное. Поэтому ясно, что

Доказательсто теоремы Пифагоры по Гауссу 545

кроме упомянутых 5-ти, нельзя образовать никакое другое тело, заключенное в равносторонних и равноугольных гранях»76.

Г7: Доказательсто теоремы Пифагоры по Гауссу

Гуманитариям будет интересно ознакомиться с подлинным текстом «короля математики», текстом, который они легко смогут понять, и который был для Гаусса, наверное, просто небольшим развле­ чением . Для знающих латинский язык текст будет любопытным упражнением, а остальные все равно смогут следить за ходом мышления.

Brunsvigae, 1797, Oct. 16.

Nova theorematis pythagoraei demonstratio

::,]

D A B

Theorema. Si trianguli ABC angulus sit rectus, erit

ABqu + AC*U = BC*U

Demonstratio.

Producatur AB utrinque fiatque

BD=BF = BC.

Turn triangula CBD, CBF erunt isocelia et anguli

Kepler. Mysterium Cosmographicum (1596). Гл. 2. Примеч. 4. Gauss. Werke. Bd. X/l. S. 524-525.