Квадрат и диагональ 207

Дидактическим эффектом такой презентации является двойной "момент осознания". Во-первых, собеседник понял суть дела, а вовторых, понял "загадочную" короткую формулировку, которую он может удержать в памяти в качестве напоминания»42.

3.3. Квадрат и диагональ

В «Меноне» есть знаменитая сцена43, в которой Сократ демон­ стрирует, что обучение — это припоминание. Задача, которую он ставит перед молодым необразованным рабом, звучит так: дан квадрат со стороной 2 фута и, следовательно, с площадью 4 ква­ дратных фута. Нужно сконструировать квадрат с вдвое большей площадью, т. е. 8 квадратных футов, и вопрос таков: какова сторона этого квадрата?

Сначала раб отвечает, что сторона такого квадрата должна тоже быть в два раза больше, т. е. 4 фута. Сократ показывает, что ответ не подходит: площадь такого квадрата составила бы 16 квадратных футов. Но, может быть, подойдет сторона в 3 фута? Нет, она даст площадь 9 футов, а не 8. Итак, сторона квадрата должна быть меньше чем 3, но сколько? Очевидно, что сторона такого квадрата не может быть целым числом.

Новая воодушевляющая идея44 собеседников такова: образовать этот квадрат из диагонали первоначального квадрата следующим образом:

42Berger. Proportion bei Platon. S. 75.

43Менон. 82b-85e.

44Можно критически спросить: чья же это идея? По Платону, это припоминает именно раб, у него возникает новая идея. На самом деле это не так. Сократ спрашивает: «Вот эта линия, проведенная из угла в угол, разве она не делит каждый квадрат пополам?» (85а) и таким образом подсказывает рабу главную идею решения задачи. Неудивительно, что Артман пишет: «Подробности платоновской теории обучения как припоминания остаются неясными, так же как и интерпретация эпизода с рабом» (Artmann, Mueller. Plato and Mathematics. P. 9). В Федоне 73a Платон дает дополнительное объяснение: «Когда человека о чем-нибудь

Квадрат и диагональ 209

младший не знает, как это сделать, и спрашивает: «Но каким образом разделить нам эти два рода?» На это чужеземец отвечает: «А таким, как пристало делить тебе и Теэтету, коль скоро вы занимаетесь геометрией». Сократ-младший, конечно же, удивляется: «Каким же именно?» И чужеземец объясняет:

В соответствии с диагональю и потом — с диагональю диагонали... Разве природа, которую получил в удел наш человеческий род, стоит в ином отношении к ходьбе, чем диагональ, равная квадратному корню из двух?.. Между тем природа всего остального рода по своему свойству есть не что иное, как диагональ нового квадрата, построенного на стороне в два фута47.

Толкователи немало потрудились над этим текстом. Гайзер ограничился примечанием: «В Политике (266а) мы читаем, что при диайрезе [пошаговом ограничении] идей по образцу соотношения стороны и диагонали должно быть построено определенное сечение»48, а Фаулер в своем большом труде «The Mathematics of Plato's Academy» даже не упоминает этот отрывок. М. Браун уделил

этому тексту целую статью, но в выводе лишь констатирует, что

49

«важно то, что в Политике 266ab имеется в виду удвоение куба» .

Политик. 266а. Ср. с переводом Р. В. Светлова: «Конечно, не входит. Но каким же образом мы разделим эти два рода? — Именно тем, который положен тебе и Теэтету, коль скоро вы связаны с геометрией. — И это каким же? — Быть может, диагональю и после того — диагональю диаго­ нали. — Что ты имеешь в виду? — Неужели природа, которая досталась нашему человеческому роду, относится к способности ходить иначе, чем диагональ квадрата со стороной в один фут, равная квадратному корню из двух футов? — Никак иначе. — И, опять, не станут ли тогда оставшиеся роды — с точки зрения квадратного корня — диагональю квадрата нашего корня, если он получит природу удвоенных двух футов».

48Gaiser. Piatons Menon und die Akademie. S. 263. Примеч. 38.

49Brown. Plato on Doubling the Cube. P. 55. Броун знает, что возникнет вопрос: «Разве то, что текст в Политике 266 отсылает к "диагонали", не указывает однозначно, что речь идет о квадрате на плоскости?» Но он отвечает: «Нет, есть основания утверждать, что это еще в большей степени указывает на 3-х мерный многогранник» (Ibid. Р. 46).

210 ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИКИ

Только у Брамбо, Бернета и Светлова я нашел толкование, в котором этот текст понимается буквально; Брамбо предлагает следующую зарисовку:

Более подробно ситуацию можно описать так (см. рисунок на следующей странице):

Biped (ходящий на двух ногах) делает один шаг (1 фут) вперед, и получается диагональ квадрата длиной V2, которая является стороной нового квадрата с площадью, равной 2 (~ Biped);

Quadruped (ходящий на четырех ногах) тоже делает один шаг вперед, и получается отрезок длиной, равной 2, который служит диагональю предыдущего квадрата, т. е. действительно, «диаго­ налью диагонали», как пишет Платон, и эта «диагональ диагонали» является стороной еще одного квадрата с площадью, равной 4 (~ Quadruped):

Математическую шутку, связанную со спецификой разницы между челове­ ком и свиньей, следует понимать следующим образом: «Природа человека

втом, чтобы идти с помощью двух ног, и это остроумно представлено в виде диагонали квадрата со стороной 1, то есть отрезка, чей квадрат/мощность составляет 2 фута (δυνάμει δίπους, V2 футов); свинья же,

впротивоположность этому, ходит с помощью четырех ног, и отрезок, чей квадрат/мощность составляет 4 фута (V4 футов), является диагональю (квадрата построенного на) первой диагонали или, как ее еще описывают (266Ь5-6), диагональю нашего δύναμις» (Burnyeat. The Philosophical Sense of Theaetetus' Mathematics. P. 496).