I. 3. Двойственность в задачах линейной оптимизации

I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования

со смешанными ограничениями вида

можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной по отношению к первой. Она выглядит следующим образом

при ограничениях

Обе приведенные выше задачи образуют так называемую двойственную пару. Совместное рассмотрение таких пар задач позволяет исследовать влияние изменения управляемых и неуправляемых переменных системы на значение целевой функции, проводить экономический анализ результатов расчетов. Сопоставляя записи прямой и двойственной задач, можно установить следующие взаимосвязи:

если прямая задача является задачей максимизации, то двойственная – минимизации и наоборот;
коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;
свободные члены ограничений прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
матрица ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы ограничений прямой задачи;
число переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи и наоборот.

Взаимно однозначное соответствие между переменными исходной задачи и ограничениями двойственной задачи удовлетворяет следующему положению: е ограничение двойственной задачи будет неравенством, если на ю переменную исходной задачи наложено требование неотрицательности, если же я переменная не ограничена в знаке, то е ограничение будет уравнением.

Основное содержание связи между задачами двойственной пары заключается в том, что решая симплекс-методом одну из них, автоматически получается решение другой. Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач и оценок в последней симплекс-таблице: