Глава I. Задача линейного программирования

Задачами линейного программирования называются оптимизационные задачи, в которых ограничения (представленные в виде либо уравнений, либо неравенств, либо и тех и других одновременно) и целевая функция (функция, подлежащая оптимизации) линейны. Методы ЛП широко используются для решения различных экономических, промышленных и организационных задач, в основном благодаря доступности математического обеспечения для решения задач ЛП большой размерности и возможности анализа решений при вариации исходных данных (анализа чувствительности).

I. 1. Разработка моделей линейного программирования.

Термин «разработка» дословно означает построение моделей ЛП практических задач. Это скорее искусство, которое постигается с опытом.

Отметим основные этапы этой задачи:

• определение переменных задачи;

• представление ее ограничений в виде линейных уравнений или неравенств;

• задание линейной целевой функции, подлежащей минимизации или максимизации.

I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля

Предположим, что в отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры двух категорий. Норма выработки ОТК за 8-ми часовую смену – не менее 1800 изделий. Контролер I категории проверяет 25 изделий в час, и не допускает ошибок в 98% случаев. Контролер II категории, соответственно, проверяет 15 изделий в час, его точность составляет 95%.

Зарплата контролера I категории – 4$ в час, контролер II категории получает 3$ в час. Вместе с тем, при каждой ошибке контролера фирма несет убытки в размере 2$.

Фирма может использовать не более 8 контролеров I категории и 10 контролеров II категории.

ЗАДАЧА: подобрать оптимальный состав ОТК, при работе которого, фирма бы несла минимальные затраты.

Разработка модели: Пусть и количество контролеров I и II категории в отделе. Их число ограничено:

В смену необходимо проверять не менее 1800 изделий. Следовательно, необходимо выполнение неравенства

или, после упрощения

В расходах фирмы отмечаются два момента: зарплата контролера и его ошибки.

Расходы фирмы на контролера I категории: в час, на контролера II категории: в час.

Таким образом, функция

при ограничениях

I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования

Задача, в которой требуется обратить в максимум (минимум) целевую функцию

при условиях

(I. 1.1.)

называется общей задачей линейного программирования в произвольной форме.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования, называется ее решением или планом. Если при этом переменные еще и неотрицательны, то план является допустимым. Множество всех допустимых планов, образуют область допустимых решений (ОДР) задачи ЛП. Это выпуклое⁵ многогранное множество. Поэтому задачи ЛП являются частным случаем более общих задач выпуклого программирования.

Допустимый план, соответствующий крайней⁶ точке ОДР, является опорным планом, либо допустимым базисным решением задачи ЛП.

Допустимый план, обращающий в максимум (минимум) целевую функцию, называется оптимальным планом задачи ЛП.

Теорема (ЛП): Пусть допустимое множество задачи ЛП является многогранником (в обобщенном смысле). Если целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение в некоторой точке множества , то она (точка) является крайней точкой для . Если целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение более, чем в одной точке, то она принимает это же значение и в любой их выпуклой комбинации: Здесь внутренняя точка отрезка ; граничная точка отрезка или крайняя точка ОДР; некоторый числовой параметр, «пробегающий» все значения из отрезка .