I. 2. Методы решения задач линейного программирования

I. 2.1. Графический метод решения задачи лп

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи ЛП и эффективно может применяться для решения задач двумерного пространства. Задачи трехмерного пространства этим методом решаются очень редко, так как построение их решения неудобно и лишено наглядности.

Рассмотрим работу метода на примере двумерной задачи. Найдем решение удовлетворяющее системе неравенств

при котором значение целевой функции достигает максимума.

Построим на плоскости ОДР задачи. Границей ОДР будет объединение отрезков прямых, получаемых из системы ограничений путем замены знаков неравенств на равенства, рассмотренных в первом координатном углу (см. рис. I.2.1). Внутренняя часть полученного многоугольника вместе с границей определяют ОДР. Крайние точки ОДР соответствуют допустимым базисным решениям задачи ЛП. Значение целевой функции можно определить в любой точке ОДР. Прямая линия, перпендикулярная вектору с координатами (3; 2) будет геометрическим местом точек, в которых целевая функция принимает одинаковые фиксированные значения (в дальнейшем такие геометрические места точек будем называть линиями уровня).

Рис. I.2.2.

Заметим, что координаты указанного вектора являются соответственно коэффициентами целевой функции и равны ее частным производным по соответствующим переменным Такие векторы называют градиентами функции⁷. В силу линейности целевой функции задачи ЛП, этот вектор имеет постоянные величину и направление.

Н

Рис. I.2.1.

етрудно проверить, что в точке (3; 2) Максимальное значение функция достигает в крайней точке ОДР (см. рисунок I.2.2). Это и будет оптимальное решение задачи. Координаты точки легко найти. Это решение системы

Таким образом а

I.2.3. Табличный симплекс-метод.

Универсальным вычислительным методом решения задачи ЛП является так называемый симплекс-метод. Идея метода состоит в последовательном «улучшении» планов задачи по определенному критерию до получения оптимального решения.

Как уже было отмечено, оптимальное значение линейная целевая функция может достигать в крайних (граничных) точках ОДР, а именно в угловых точках. Важно заметить, что, если размерность задачи (количество переменных и количество ограничений) велики, то угловых точек может быть очень много и указать нужную становится весьма затруднительным делом, а определять оптимальное решение простым перебором весьма долгое и рутинное занятие.

Этих недостатков и лишен симплекс-метод, согласно которому: находясь в одной из вершин многогранной области – из всех соседних⁸ вершин выбирается та, которая «улучшает» целевую функцию.

Рассмотрим процесс подготовки исходных данных и алгоритм решения задачи этим методом. Для решения задачи ЛП

необходимо предварительно выполнить следующие процедуры:

• привести математическую модель задачи к каноническому виду (систему активных ограничений типа неравенств привести к уравнениям путем введения дополнительных «искусственных» переменных);

• определить начальное допустимое решение задачи;

• ввести в исходную таблицу параметры, соответствующие начальному опорному плану;

• весовые коэффициенты переменных целевой функции; переменные текущего базиса; значения базисных переменных (столбец ); элементы матрицы условий задачи (столбцы ); оценки «дефект» –

Оценки определяются по формулам:

Весовые коэффициенты при базисных переменных проставляются в левый столбец таблицы. Значение целевой функции при текущем базисе

заносятся в последнюю строку столбца