I.1.3. Независимые переменные
Третий этап – выбор независимых переменных, которые должны адекватно2 описывать допустимые модели или условия функционирования системы.
Для этого необходимо:
выбирать соответствующий уровень детализации. Здесь необходимо придерживаться «золотой середины» между достаточной достоверностью и существенным упрощением модели;
учесть все основные переменные величины;
провести различия между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами.
I.1.4. Модель системы
После того, как будут выполнены все указанные выше этапы постановки задачи, необходимо соответственно построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием.
Оптимизационное исследование можно провести на основе непосредственного экспериментирования с системой3. Однако на практике оптимизация проводится на основе упрощенного математического представления системы – модели. Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами требует значительных затрат средств и времени, а также в ряде случаев связаны с риском. Модель позволяет провести исследование наиболее экономичным способом, эффективно и без проявления последствий эксперимента в реальности.
Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы.
I.2. Структура оптимизационных задач
Здесь важно отметить, что оптимизационные задачи имеют весьма разнообразные области приложений. Однако, несмотря на это, в целом, их формальное описание имеет общую схему.
Все
эти задачи можно классифицировать как
задачи поиска экстремума вещественной
функции
(здесь
),
компоненты которой удовлетворяют
системе уравнений:
(I.
2.1)
набору неравенств:
(I.
2.2)
а также ограничены сверху и снизу:
В
дальнейшем, функцию
будем называть целевой функцией,
уравнения (1.2.1) – ограничениями типа
равенств, неравенства (1.2.2) – ограничениями
типа неравенств. Здесь предполагается,
что используемые в задаче функциональные
зависимости вещественнозначны, а число
ограничений конечно.
В общем виде формализованная постановка задачи выглядит так:
(I.
2.3)
Задача носит название задачи условной оптимизации.
Все
такие задачи можно классифицировать в
соответствии с видом функций
и
,
а также с размерностью вектора
.
Если ограничения (I. 2.1) и (I. 2.2) отсутствуют, а представляет собой одномерный вектор , то мы имеем дело с задачами безусловной оптимизации – хотя и простейший, но весьма важный класс оптимизационных задач.
Задачи
условной оптимизации, в которых функции
и
являются линейными, носят название
задач с линейными ограничениями. В таких
задачах сама целевая функция может быть
как линейной, так и нелинейной.
Задачи,
которые содержат только линейные функции
вектора непрерывных переменных
называются задачами линейного
программирования
(ЛП)4.
Существует класс задач с линейными ограничениями и нелинейной целевой функцией. Оптимизационные задачи такого рода можно классифицировать на основе структурных особенностей нелинейных целевых функций:
квадратичная
функция - задача квадратичного
программирования;отношение линейных функций – задачи дробно-линейного программирования;
в задачах динамического программирования целевая функция мультипликативна;
и так далее.
Деление оптимизационных задач на такие классы представляет значительный интерес, поскольку специфические особенности тех или иных задач играют важную роль при разработке методов их решения.