II. 1.2. Метод определения начального опорного плана перевозок

Как и в других задачах ЛП, итерационный процесс отыскания оптимального плана транспортной задачи начинается с какого-либо опорного плана. Опорный план Т-задачи строим в виде матрицы размеров Заполненные позиции матрицы, то есть, в которых , соответствуют базисным переменным. Для невырожденного опорного плана их количество равно где ранг⁹ матрицы системы ограничений.

Начальный опорный план может быть построен, например, методом северо-западного угла¹⁰.

Определим элементы матрицы начиная с верхнего левого угла. Находим величину Если , то , и первый столбец закрыт для расчета остальных элементов, то есть . Если , то , и первый столбец закрыт для расчета остальных элементов, то есть .

Затем вычисляем

при ,

либо

при .

Этот процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпаются ресурсы и не удовлетворятся потребности .

Существуют и другие методы определения начального плана перевозок.

Метод минимального элемента.

В методе минимального элемента просматриваются клетки таблицы в порядке возрастания стоимости перевозок и таким же образом, как и в методе Северо-западного угла удовлетворяются потребности потребителей за счет запасов поставщиков, вычеркиваются строки (столбцы) таблицы Т-задачи. Метод дает иногда лучшее начальное приближение, чем метод Северо-западного угла.

Метод аппроксимации (метод Фогеля).

Метод аппроксимации Фогеля при выборе клетки учитывает не только минимальную величину стоимости перевозок, но и возможные ее увеличения в случае выбора другой клетки строки (столбце). Для этого используют «штрафы» строк и столбцов. Штраф строки (столбца) равен разности первой стоимости (большей минимальной стоимости в строке (столбце)) и минимальной стоимости в данной строке (соответственно столбце). Затем из всех строк и столбцов выбирается строка или столбец с максимальным штрафом и в нем ( в ней) выбирается клетка с минимальной стоимостью. Эта клетка будет соответствовать базисной переменной. Если остается не вычеркнутой одна строка или столбец, то клетки в ней выбираются по методу минимального элемента. Метод Фогеля обычно дает решение, близкое к оптимальному.

Метод двойного предпочтения.

Если таблица стоимости велика, то перебор всех элементов затруднителен. В этом случае используют метод двойного предпочтения, суть которого заключается в следующем.

В каждом столбце отмечают знаком * клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки будут иметь отметку **. В них находится минимальная стоимость как по строке, так и по столбцу. Тогда в них помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком *. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

Полученный таким образом план может оказаться неоптимальным, то есть значение целевой функции, получаемое в соответствии с ним, может быть уменьшено за счет некоторых эквивалентных преобразований системы ограничений и перехода к другим смежным решениям Т-задачи, как задачи ЛП. В основе таких переходов лежит так называемый метод потенциалов, идея которого состоит в улучшении начального опорного плана до тех пор, пока не будет удовлетворяться некий признак оптимальности.

Алгоритм метода потенциалов решения Т-задачи состоит из предварительного этапа и конечного числа итераций.

На предварительном этапе метода потенциалов мы уже получили некоторый начальный план перевозок. Назовем его . Затем для этого плана рассчитывают оценочную матрицу

где потенциалы пунктов отправления и пунктов назначения соответственно.

Предварительные потенциалы выбирают таким образом, чтобы для связанных коммуникациями пар пунктов, для которых в плане , сумма потенциалов была равна :

Если матрица не содержит отрицательных элементов, то - оптимальный план. В противном случае, план можно улучшить.

Описание алгоритма решения Т-задачи.

1⁰. Предварительный этап:

Определяется начальный опорный план одним из указанных выше способов (например, методом северо-западного угла).

2⁰. Первый шаг:

Вычисляется оценочная матрица . Для расчета всех элементов матрицы необходимо сначала определить все потенциалы. Далее строится схема перевозок, соответствующая начальному опорному плану , то есть соединяем коммуникациями пункты отправления и пункты назначения, для которых . Пользуясь выше указанными соотношениями для определения потенциалов по базисным клеткам, определяем последовательно все потенциалы пунктов отправления и назначения, принимая для удобства . Затем пересчитываем стоимости в небазисных клетках таблицы издержек. Очевидно, что позиции матрицы , отвечающие базисным элементам плана , будут заняты нулями.

3⁰. Итерации:

0. я итерация. Если в оценочной матрице все элементы неотрицательны, то план - оптимальный, в противном случае следует приступить к его улучшению;

1. выбирается наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент оценочной матрицы и, начиная с соответствующего ему элемента , в матрице строится замкнутая цепочка¹¹, в которую входят элементы ;

2. строится новый план , прибавляя: (минимальный элемент выбирается из только из тех элементов, которые связаны цепочкой) ко всем четным элементам цепочки и вычитая из нечетных¹². Элементы матрицы , не входящие в цепочку, переносятся в матрицу без изменения;

3. далее с помощью эквивалентных преобразований (элементарные преобразования Гаусса) на основе матрицы строится матрица для нового плана . Для этого необходимо выделить в матрице все элементы, соответствующие ненулевым элементам плана (они обязательно равны нулю). В матрице вычеркивается строка, содержащая элемент . Если в этой строке имеются выделенные элементы, то вычеркиваются соответствующие этим элементам столбцы. Если в каждом вычеркнутом столбце присутствуют выделенные элементы, то далее вычеркиваются им соответствующие строки и так далее, до тех пор пока описанная процедура выполнима. После этого ко всем элементам вычеркнутых строк прибавляется величина равная , а из элементов вычеркнутых столбцов эта величина вычитается. Таким образом получается новая оценочная матрица. Если в матрице нет отрицательных элементов, то план на этом шаге оптимален. В противном случае необходимо выполнить еще одну итерацию.

На этом итерации завершаются.

ПРИМЕР: Пусть даны: матрица транспортных издержек , объемы производства и объемы потребления

					А
	1	2	9	7	60
С	3	4	1	5	55
	6	4	8	3	40
	2	3	3	1	35
В	70	5	45	70

Решение начинаем с проверки баланса: Далее, строим начальный опорный план по методу северо-западного угла:

60	0	0	0
10	5	40	0
0	0	0	35
0	0	0	35

Приступаем к вычислению потенциалов. В таблице издержек для удобства выделим клетки соответствующие плану перевозок.

1	2	9	7
3	4	1	5
6	4	8	3
2	3	3	1

По соответствующим маршрутам плана указываем стоимость перевозки единицы груза из го пункта отправки в й пункт потребления. Принимаем (можно выбрать любое число) и, пользуясь соотношением: определяем потенциалы

и так далее.

	1	2	9	7	0
	3	4	1	5	2
	6	4	8	3	9
	2	3	3	1	7
	1	2	-1	-6

Далее рассчитываем элементы оценочной матрицы по соотношениям:

и так далее.

Таким образом

Поскольку в имеются отрицательные элементы, – план не является оптимальным.

Приступаем к итерациям. В матрице , начиная с элемента , соответствующего в оценочной матрице наибольшему по абсолютной величине отрицательному элементу, строим цепочку.

60		0			0		0
	5					40
10		–			+		0
0		+			–		35
	0					5
0		0			0		35

Изменяя элементы, входящие в цепочку, на величину строим новый план перевозок

60	0	0	0
10	0	35	0
0	5	0	35
0	0	0	35

Снова расставляем потенциалы, используя матрицу транспортных издержек, данную в условиях задачи.

	1	2	9	7	0
	3	4	1	5	2
	6	4	8	3	2
	2	3	3	1	0
	1	2	-1	1

И далее строим оценочную матрицу:

В оценочной матрице нет отрицательных элементов, следовательно, план является оптимальным. Таким образом, остается оценить стоимость перевозки в условных единицах.

На этом решение задачи завершается.