Контрольные вопросы
Основные элементы математической модели задачи линейного программирования.
Симметричная форма записи задачи ЛП и ее отличительные особенности.
Базисная форма записи задачи ЛП и ее отличительные особенности.
Формализация постановки задачи линейного программирования и приведение ее математической модели к каноническому виду.
Построение начального опорного плана задачи ЛП, базисные и свободные перемененные.
Ограничения задачи ЛП и их геометрический смысл.
Табличный симплекс-метод и его основная идея.
Критерий оптимальности решения.
Критерий выбора переменных вводимых в базис задачи и выводимых из базиса задачи.
Основной метод перехода от одной симплекс-таблицы к другой и его геометрическая интерпретация.
Правила построения задачи двойственной к данной.
Соответствие переменных прямой и двойственной задач.
Экономическое содержание прямой и двойственной задач линейного программирования.
Связь оптимальных решений задач двойственной пары.
Отличительные особенности алгоритма двойственного симплекс-метода.
Теневая и равновесная цены ресурсов, диапазоны устойчивости.
ГЛАВА II.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
II. 1. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ
II. 1.1. Общая постановка задачи
Транспортные задачи составляют особый класс задач линейного программирования, специфика математических моделей которых позволяет применять для их решения наряду с общими методами решения задач ЛП специальные методы, значительно сокращающие процесс вычислений. Простейшая постановка транспортной задачи (Т-задачи) по критерию стоимости следующая.
В
пунктах производства
имеются запасы какого-то продукта в
количествах
единиц соответственно. Необходимость
в этом продукте в пунктах потребления
выражается соответственно величинами
Из каждого пункта производства возможна
транспортировка продукта в любой пункт
потребления. Транспортные издержки на
перевозку единицы продукции (груза) из
пункта
и
заданы и составляют
так
называемую матрицу
издержек.
Задача состоит в том, чтобы отыскать такой план перевозок, при котором весь продукт из пунктов производства будет вывезен, запросы потребителей полностью удовлетворены и суммарные транспортные издержки – минимальны. |
Условие Т-задачи представим в виде:
Здесь
Для составления математической модели
задачи, введем переменные
,
обозначающие количество груза,
перевозимого из
го
пункта производства в
й
пункт потребления.
Требуется
найти множество переменных
минимизирующих
функцию
и удовлетворяющих условиям
Т-задача
представляет собой задачу ЛП с числом
переменных
и числом ограничений типа равенств
.
Набор переменных удовлетворяющий условиям Т-задачи, можно записать в виде матрицы
.
Матрицу
называют планом
перевозки
Т-задачи, а переменные
называют собственно перевозками.
План,
при котором значение целевой функции
минимально (и его уже сделать меньшим
нельзя в области ограничений Т-задачи)
называется оптимальным.
Матрица
матрица
издержек.
В ограничениях Т-задачи первое условие гарантирует полный вывоз продукта из всех пунктов производства, второе условие означает полное удовлетворение спроса на этот продукт в пунктах потребления.
На практике же встречаются как задачи, где выполняется равенство между суммарными ресурсами и суммарными потребностями (условие баланса)
так и задачи, где эти условия не выполнены. В исходной постановке, где выполнено условие баланса, задача называется закрытой моделью. В противном случае – модель открыта и тогда ее необходимо “закрыть”. Если
,
вводится дополнительный пункт потребления, в котором потребности
если же
то вводится дополнительный пункт производства. В таблице издержек стоимости перевозок по соответствующим маршрутам равны нулю, так как введенные пункты фактически являются фиктивными и в перевозках они не участвуют.
Существуют различные подходы в решении Т-задачи. В частности к ручным методам вычисления оптимального плана относятся распределительный метод и метод потенциалов. Т-задачи можно решать и с использованием вычислительной техники с помощью методов дифференциальных рент и так называемого Венгерского метода.
-
Решение Т-задачи “ручными” методами состоит из следующих основных этапов:
определение исходного опорного плана задачи;
оценка этого плана;
переход к следующему, лучшему плану путем замены одной из базисных переменных на свободную.