2.4 Уравнения линии для установившегося режима гармонических колебаний

Гармонические напряжение и ток определяются выражениями

Если мы, таким образом учтем в уравнениях время и то, что у нас ток и напряжение изменяются вдоль линии, то в системе можно получить следующие соотношения:

(2.10)

Введение временного множителя привело к тому, что этот множитель встречается при всех членах системы уравнений (2.10). Поэтому при исследовании уравнения этот множитель можно опустить и, переходя от записи уравнений в частных производных к полному дифференциалу, можно записать систему уравнений в следующем виде:

(2.11)

или переписать

(2.11,а)

где Z_пр – сопротивление проводов, Y_пр – проводимость изоляции.

Уравнение (2.11) – основное уравнение линии в установившемся режиме для гармонических колебаний.

Решение таких уравнений ищется по справочникам.

2.5 Основные уравнения линии для установив-шегося режима гармонических колебаний, полученных из эквивалентной схемы

Z_Н

Рис. 2.4 Выбор элементарного участка на линии

Для элементарного участка линии можно нарисовать эквивалентную схему.

Рис. 2.5 Эквивалентная схема элементарного участка

Мы заменили участок реальной линии эквивалентной схемой с сосредоточенными параметрами. Для наглядности изобразим линию в виде несимметричной схемы. Но все решения, которые мы получим, могут быть отнесены к любой линии.

Точность поведения нашей схемы по отношению к поведению реальной линии будет определяться малостью участка dx.

Существенная разница эквивалентной схемы по отношению к линии состоит в том, что ток и напряжение в эквивалентной схеме изменяются скачком в конце элементарного участка по отношению к началу участка.

В реальной линии это изменение происходит непрерывно. Но в пределе, если х0, то эта разность исчезает.

Для схемы (рис. 2.5) можно записать следующие уравнения

(2.12)

В уравнениях (2.12) величину dU_x можно исключить, как величину второго порядка малости.

Тогда получим

(2.13)

К этим уравнениям можно прийти и из уравнений Максвелла.

2.6 Решение уравнений линии

Решим систему уравнений (2.13). Для этого продифференцируем первое уравнение системы еще раз и получим

,

далее подставим из второго уравнения системы (2.13). Отсюда имеем

,

а заменив ,

получим

, (2.14)

Уравнение (2.14) известно как волновое уравнение математической физики.

Этому уравнению удовлетворяет следующее решение

(2.15)

где А₁, А₂ – некоторые константы по размерности напряжения, которые определяются из начальных условий.

Теперь получим уравнение для тока, для этого продифференцируем уравнение (2.15) и подставим во второе уравнение системы (2.13). В результате получим

(2.16)

где  - километрический коэффициент распространения, равный

(2.17)

где  = Re () - километрический коэффициент затухания;

 = Jm () - километрический коэффициент фазы.

Собственное затухание и собственный фазовый коэффициент линии соответственно равны

Волновое сопротивление линии – это отношение

(2.18)