2.1.3 Расчет надежности технических систем с учетом восстановления

Метод переходных вероятностей. При произвольных функциях распределения времени безотказной работы и восстановления надежность систем анализируют путем дискретизации времени с заданием на каждом его интервале вероятностей перехода системы из одного состояния в другое. При постоянстве направлений переходов системы из одного состояния в другоё и допущении об ординарности, независимости и стационарности потока отказов система может быть отнесена к марковским системам с дискретным временем.

Отличительным свойством марковских систем является то, что вероятность перехода системы в любое из возможных состояний, число которых ограничено, зависит только от предыдущего состояния и не зависит от предшествующих [9].

Рис. 2.7 Размеченный граф состояний восстанавливаемой системы

Надежность таких систем описывается системой алгебраических уравнений, число которых соответствует числу возможных состояний системы. Для их составления используется ориентированный граф состояний, вершины которого соответствуют возможным состояниям системы, а ребра характеризуют направление и вероятность перехода из одного состояния в другое.

В качестве примера проанализируем надежность системы защиты, которая может находиться в трех состояниях: работоспособном, ложного сраба­тывания и несрабатывания, обозначенных на рис. 2.7 соответственно цифра­ми 1, 2, 3. За интервал времени t с вероятностью р₁₁ система сохраняет ра­ботоспособное состояние либо с вероятностями р₁₂ и p₁₃ переходит в нерабо­тоспособные состояния 2, 3. За этот же интервал времени после ложного срабатывания система с вероятностью p₂₁ восстанавливается и возвращается в работоспособное состояние 1. За интервал t система может сохранить со­стояние 2, вероятность этого события составляет р₂₂. Аналогично вероятно­сти р₃₃, р₃₁ характеризуют качество восстановления системы после ее несра­батывания. При восстановлении всех отказавших систем р₂₂=р₃₃=0, a р₂₁=p₃₁=1.

Вероятность нахождения системы в любом из состояний после i интервалов времени определяется следующей системой алгебраических уравнений:

(2.9)

После любого числа интервалов p₁(i)+ р₂(i)+ р₃(i) = 1. Для решения систе­мы уравнений (2.9) необходимо задать начальное распределение вероятности между состояниями системы. При работоспособном состоянии системы в на­чальный момент времени Р₁(0) =1, а Р₂(0) = Р₃(0) = 0.

Вероятность нахождения системы после i интервалов в состоянии j рассчи­тывается по формуле:

Р_j(i)=М(0)МⁱD_j, (2.10)

где M(0)=||P₁(0)P₂(0)P₃(0)|| — вектор-строка начального состояния системы; Мⁱ—матрица переходов; D_j —вектор-столбец анализируемого состояния. Он содержит нули и одну единицу, которая стоит на месте анализируемого состояния. Так, если после i интервалов определяется вероятность нахождения системы в состоянии ложного срабатывания, то

.

Матрица переходов составляется непосредственно по графу состояний. Для рассматриваемого примера матрица переходов имеет следующий вид:

. (2.11)

Матрица переходов является квадратной: число строк и столбцов равно числу состояний системы. Для записи матрицы удобно воспользо­ваться следующим приемом. Если вне матрицы обозначить через 1i, 2i, 3i со­стояния системы после i интервалов, а 1(i—1), 2(i—1), 3(i—1) ее предшест­вующие состояния, то в матрицу записываются вероятности перехода из соответствующего предшествующего в то или иное текущее. Так, если предшествующее состояние 2(i—1), а текущее 1i, то в пересечении соответствующей строки и столбца записывается р₂₁. Таким образом, строки матрицы переходов определяют вероятности со­хранения того или иного состояния и выхода из него в другие состояния сис­темы, сумма этих вероятностей равна единице.

Столбцы матрицы представляют собой коэффициенты уравнений (2.9) при P_j(i—1). Эти коэффициенты определяют вероятности прихода системы в анализируемое состояние из всех возможных, включая анализируемое. При пе­ремножении матриц их перестановка в (2.10) не допускается.

При бесконечно большом числе интервалов распределение вероятности между состояниями не зависит от начального состояния и определяется системой уравнений:

(2.12)

где Р₁, Р₂, Р₃ – предельные (финальные) вероятности пребывания системы в соответствующих состояниях.

Поскольку уравнения (2.12) являются линейно зависимыми, то для определения Р₁ Р₂, P₃ используется уравнение P₁+ Р₂ + P₃ =1 и два наиболее простых уравнения (2.12).

Метод переходных интенсивностей. Экспоненциальное распределение с удовлетворительной точностью опи­сывает функционирование технических систем и их элементов на участке нормальной экс­плуатации. Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем с непрерывным временем и использовать для анализа их надежности систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Экспоненциальное распределение описывает процессы в системах без пре­дыстории, поскольку изменение вероятности их нахождения в том или ином состоянии за интервал t зависит только от длительности временного интер­вала.

Рассмотрим кратко методику определения вероятностей состояний Марковского процесса с непрерывным временем.

Пусть система может находиться в некоторых состояниях, число которых конечно (равно n). Номера состояний: 0, 1, 2, 3,…,n.

Если система может находиться только в двух со­стояниях – работоспособном и восстановления, то снижение вероятности одного состояния приводит к соответствующему увеличению вероятности другого со­стояния, поскольку для любого момента времени Po(t)+P₁(t)=1. На рис. 2.8, а представлен ориентированный граф переходов системы для рассматриваемой ситуации. Здесь состояние 0 соответствует работоспособному, а состояние 1 – неработоспособному (восстановления). Переходы системы из работоспособного состояния (0) в неработоспособное (1) происходит под действием потока отказов с интенсивностью отказов , а переход системы из неработоспособного (1) в работоспособное (0) – под действием потока восстановлений, с интенсивностью восстановления . Переход системы из состояния 0 в состояние 1 происходит в момент наступления первого отказа.

Таким обра­зом, вероятности нахождения систем в момент t+dt в каждом из рассматриваемых состояний связаны с соответствующими вероятностями:

(2.13)

Сопоставление (2.13) с системой уравнений (2.9) показывает, что в Марковских системах с непрерывным временем соответствуют ве­роятностям р₁₁, p₁₂, p₂₂, p₂₁ используя первые, можно составить матрицу пере­ходов, подобную (2.11).

Рис. 2.8 Граф состояний восстанавливаемой системы:

а – с двумя состояниями; б - произвольный узел графа

Поскольку [Pi(t+dt)-Pi(t)]/dt=dPi(t)/dt, то вероятность нахождения системы с непрерывным временем в каждом из состояний определяется следующей сис­темой дифференциальных уравнений первого порядка, называемой системой Колмогорова-Чепмена:

(2.14)

В общем случае число дифференциальных уравнений определяется числом возможных состояний системы, которое (как для систем с дискретным време­нем) должно быть ограничено.

При записи системы дифференциальных уравнений предварительно составляется перечень возможных состояний системы и соответствующий ему ориентированный граф состояний, подобный представленному на рис. 2.8. Каждая из вершин соответствует одному из состояний системы, а ориентация ребер определяется направлением перехода. Так, граф состояний рассмотрен­ной выше системы с двумя состояниями обычно изображается в виде, пред­ставленном на рис. 2.8, а. С помощью его и системы дифференциальных урав­нений 2.14 легко проверяется общий принцип записи дифференциального уравнения для произвольной вершины i (рис. 2.8, б), в которую система может прийти из т вершин и из которой переходит в одну и п вершин:

(2.13)

Проверкой правильности составления системы дифференциальных уравне­ний является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

Первая сумма в правой части формулы (2.13) распространяется на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из состояния отказа в работоспособное состояние (т. е. для которых ), а вторая – на те значения j, для которых возможен непосредственный переход из работоспособного состояния в состояние отказа (т. е. ).

Систему дифференциальных уравнений (2.13) решают при начальных условиях, задающих вероятности состояний в начальный момент при t=0:

(2.14)

причем для любого момента времени t выполняется нормировочное условие:

. (2.15)

Получить систему уравнений (2.13) можно непосредственно по виду размеченного графа состояний, если пользоваться следующим правилом: для каждого из возможных состояний системы записывается уравнение, в левой части которого , а справа – столько слагаемых, сколько стрелок графа соприкасается с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то перед слагаемым ставится плюс, если стрелка направлена из данного состояния – минус. Каждое из слагаемых будет равно произведению интенсивности перехода из данного состояния (либо в данное состояние) на вероятность состояния, из которого выходит стрелка.

Решение системы уравнений (2.13) осуществляется по известным правилам решения системы дифференциальных уравнений. Однако его можно существенно упростить, если учесть, что рассматриваемый процесс – процесс марковский стационарный, для которого производные можно принять равными нулю (вероятности состояний не меняются с течением времени). Система дифференциальных уравнений (2.13) переходит при этом в систему алгебраических уравнений.