18. Свойства аналитических функций. Теорема Коши-Римана.

Свойства аналитических функций:

Результаты примеров 2.41 и 2.43 не являются случайными. Более того, поскольку понятие аналитичности функции определяется через понятие дифференцируемости, то, учитывая утверждение 2.5 о свойствах функций, дифференцируемых в точке, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.9

1. Сумма, произведение функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке. Поэтому, в силу аналитичности функции (см.пример 2.41), линейная комбинация функций, аналитических в точке, является аналитической функцией.

2. Частное функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке, если знаменатель в ней отличен от нуля.

3. Суперпозиция аналитических функций — функция аналитическая.

4. Если — аналитическая в точке и , то обратная функция является аналитической в .

Эти свойства используются в большинстве случаев при исследовании функции на аналитичность. При этом отпадает необходимость проверять условия Коши-Римана. Правила нахождения производной такие же, как в действительном анализе (см. утверждение 2.5). Очевидно, совпадают и табличные производные и нет необходимости использовать формулу (2.20).

Теорема Коши-Римана.

Теорема Коши-Римана: Пусть определена в окрестности . Для существования производной в необходимо и достаточно:

1) и - дифференцируемы в вещественном смысле в точке

2) выполняются Условия (C-R) Коши-Римана: В точке

При этом

19. Последовательности и ряды комплексных чисел.

Последовательности комплексных чисел:

Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.

1. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие комплексное число , то говорят, что задана последовательность комплексных чисел (последовательность с комплексными членами): .

2. Последовательность называется ограниченной, если существует число , такое, что для любого выполняется неравенство . Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной: для , что .

3. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого числа найдется номер , такой, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

— бесконечно малая .

Правило 1.1. Чтобы по определению доказать, что данная последовательность является бесконечно малой, следует:

1) записать неравенство , где — любое, ;

2) решить это неравенство относительно ;

3) из полученного решения , определить .

4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа найдется номер , такой, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Геометрически это означает, что члены последовательности для расположены в окрестности бесконечно удаленной точки, в области .

Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей легко установить связь между ними. Если — бесконечно малая последовательность, то — бесконечно большая, и наоборот, если — бесконечно большая последовательность, то — бесконечно малая.

5. Число называется пределом последовательности , если последовательность является бесконечно малой (обозначается ):

для .

Ряды с комплексными членами:

Основные понятия, связанные с рядами в комплексной области, вводятся так же, как в действительной области.

1. Выражение вида , где — последовательность комплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается ).

2. Сумма называется n-й частичной суммой ряда, обозначается последовательность — последовательность частичных сумм ряда.

3. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует . Этот предел называется суммой ряда:

— сумма ряда; — остаток ряда.

4. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд . Заметим, что ряд — ряд с действительными положительными членами.