11. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Сравнение:
означает,
что
и
(два
комплексных числа равны между собой
тогда и только тогда, когда равны их
действительные и мнимые части).
Сложение:
Вычитание:
Умножение:
Деление:
В
частности:
12. Действия над комплексными числами в показательной форме. Формула Муавра.
Формула Муавра:
Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
где
—
модуль, а
—
аргумент комплексного числа. В современной
символике она опубликована Эйлером в
1722 году. Приведенная формула справедлива
при любом целом n,
не обязательно положительном.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим,
что корни
-й
степени из ненулевого комплексного
числа всегда существуют, и их количество
равно
.
На комплексной плоскости, как видно из
формулы, все эти корни являются вершинами
правильного
-угольника,
вписанного в окружность радиуса
с
центром в начале координат (см. рисунок).
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Рассмотрим
произвольное комплексное число,
записанное в тригонометрической форме:
.
По формуле Эйлера
а тогда
Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:
Такая
форма представления позволяет дать
наглядную интерпретацию операциям
умножения комплексных чисел, их деления
и возведения комплексного числа в
степень. Например, умножение комплексного
числа
на
комплексное число
выглядит
следующим образом:
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа на комплексное число :
Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.
Для
возведения комплексного числа
в
целую степень
нужно
представить это число в показательной
форме
,
модуль возвести в степень, а аргумент
увеличить в
раз:
Задание.
Записать комплексное число
в
показательной форме.
Решение. Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:
Тогда
Ответ.
13. Кривые на комплексной плоскости.
14. Области на комплексной плоскости.
15. Функция комплексного переменного. Однозначные и многозначные функции. Примеры.
ФКП:
Это понятие — обобщение предыдущего варианта:
.
Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного, или комплексный анализ.
Функция также может быть представлена в виде
,
однако
имеется более глубокая связь между u и
v. Например, для того, чтобы функция
была
дифференцируема, должны выполняться
условия Коши — Римана:
;
.
Примерами
аналитических функций комплексного
переменного являются: степенная функция,
экспонента, гамма-функция, дзета-функция
Римана и многие другие, а также обратные
им функции и любые их комбинации. Однако
действительная часть комплексного
числа
,
комплексная часть
,
компексное сопряжение
,
модуль
и
аргумент
аналитическими
функциями комплексного переменного не
являются, так как не удовлетворяют
условиям Коши — Римана.
Примеры:
Степенна́я
фу́нкция — функция
,
где
(показатель
степени) — некоторое вещественное
число. К степенным часто относят и
функцию вида
,
где k — некоторый масштабный множитель.
Существует также комплексное обобщение
степенной функции. На практике показатель
степени почти всегда является целым
или рациональным числом.
Экспоне́нта
— показательная функция
,
где e
— Число Эйлера (
).
Примером многозначной функции может служить извлечение квадратного корня числа.
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
,
то (см. Формула Муавра)
,
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.