5. Оператор Лапласа. Гармоническое поле.
Векторное поле, у которого и дивергенция, и ротор всюду равны нулю, называется гармоническим; его потенциал представляет собой гармоническую функцию.
6. Поток векторного поля.
В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:
Поток векторного поля через поверхность
Фазовый
поток — поток векторного поля
—
однопараметрическое семейство
диффеоморфизмов
,
определяемых дифференциальным уравнением
.
Поток векторного поля через поверхность
Поток
векторного поля через поверхность —
поверхностный интеграл второго рода
по поверхности
.
По определению
где
—
векторное поле (вектор-функция векторного
аргумента — точки пространства),
—
единичный
векторположительной
нормали к поверхности (положительное
направление выбирается для ориентируемой
поверхности условно, но одинаково для
всех точек — то есть для дифференцируемой
поверхности — так, чтобы
было
непрерывно; для неориентируемой
поверхности это не важно, так как поток
через неё всегда ноль),
—
элемент поверхности.
В трёхмерном случае
,
а поверхностью является обычная
двумерная поверхность.
Иногда,
особенно в физике, применяется обозначение
тогда
поток записывается в виде
7. Циркуляция и ротор векторного поля.
Пусть
в некоторой области пространства задано
силовое векторное поле F . Выберем в этом
поле площадку и точку M на ее поверхности.
Пусть эта площадка ограничена контуром
L. Построим в точке M нормаль N к площадке
по правилу "правого винта". Так как
силовое поле задано во всем пространстве,
то оно также задано и в каждой точке на
контуре L. Вычислим работу, которая
совершается при обходе контура L. Работа
на участке dl контура dA=(F,dL) , где вектор
dL по величине равен dl и направлен по
касательной в контуру L. Полная работа
при обходе контура L
В рассмотренном примере работа есть циркуляция силового поля.
Аналогичная
величина, определенная для произвольного
векторного поля A(r) называется
циркуляцией векторного поля A по
контуру L :
Рассмотрим свойства циркуляции. Разделим замкрутый контур ABCD на две части отрезком AC . Тогда, цикруляция Г по всему контуру ABCD будет равна сумме циркуляций по контурам ABCA и ACDA , так как по отрезку проход осуществляется дважды в противоположных направлениях. Пусть контур ABCD охватывает площадь S, а контуры ACDA и ABCA соответственно S₁ и S₂. Тогда, можно записать:
Отсюда
следует, что Г можно представить в виде
интеграла по поверхности, опирающейся
на контур L:
и,
используя теорему о среднем, далее можно
записать как:
Будем
изменять ориентацию вектора n,
сохраняя его начало в точке M. Так как
контур будет изменять свою ориентацию
в поле, то величина циркуляции также
будет изменяться и ее можно рассматривать
как функцию n: Г=Г(n) . При этом L Г(-n)=-Г(n),
так как направление обхода в этом случае
будут противоположным. Так как поле A
считается непрерывным, то Г(n) будет
непрерывной функцией n. Из анализа
известно, что если непрерывная функция
на ограниченном участке меняет свой
знак, то она проходит через 0. Поэтому
существует такой вектор n₀
, что Г(n₀)=0.
Частный случай такой ситуации возникает
на примере с силовым полем, когда векторы
поля будут перпендикулярны к площадке,
охватываемой контуром L. Функцию Г(n),
удовлетворяющую перечисленным свойствам,
можно построить, если выбрать f(M) в
виде f(M)=(R,n), при этом вектор R должен быть
связан с самим полем A в точке M. Таким
образом, можно записать
Из этого в применении к силовому полю F следует, что если в окрестности точки M вектор R отличен от нуля, то поле будет совершать работу при перемещении материальной точки по замкнутому контуру и наоборот.
Будем
стягивать контур L к точке M. Тогда, в
предельном случае формулы вектор R
называется ротором векторного поля A:
Формула инвариантным образом определяет новую характеристику векторного поля - ротор, который векторным полем. (??что это??)