Задача №3

По 12 предприятиям отрасли изучается зависимость при­были (тыс. руб.) у от выработки продукции на одного человека (единиц) х по следующим данным:

Таблица 1– Исходные данные

Номер Предприятия	Выработка продукции на одного человека, единиц, х	Прибыль предприятия, тыс. руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у = f(x).

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю

ошибку аппроксимации.

3.Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Дать точечный и интервальный прогноз прибыли с вероятно­стью 0,95, принимая уровень выработки равным 92 единицам.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии стро­им таблицу 2.

Таблица 2– Расчетная таблица

Номер предприятия
1	78	133	10374	6084	17689	149	–16	12,0
2	82	148	12136	6724	21904	152	–4	2,7
3	87	134	11658	7569	17956	157	–23	17,2
4	79	154	12166	6241	23716	150	4	2,6
5	89	162	14418	7921	26244	159	3	1,9
6	106	195	20670	11236	38025	174	21	10,8
7	67	139	9313	4489	19321	139	0	0,0
8	88	158	13904	7744	24964	158	0	0,0
9	73	152	11096	5329	23104	144	8	5,3
10	87	162	14094	7569	26244	157	5	3,1
11	76	159	12084	5776	25281	147	12	7,5
12	115	173	19895	13225	29929	183	–10	5,8
Итого	1027	1869	161808	89907	294377	1869	0	68,8
Среднее значение	85,58	155,75	13484,0	7492,3	24531,4	–	–	5,7
	12,95	16,53	–	–	–	–	–	–
	167,7	273,4	–	–	–	–	–	–

Рассчитаем параметры и по формулам:

, (2.29)

, (2.30)

Получаем уравнение регрессии:

С увеличением выработки на 1 единицу прибыль возрастает в среднем на 0,92 тыс. руб.

2. Тесноту линейной связи измеряет коэффициент корреляции:

, (2.31)

Коэффициент корреляции можно также рассчитать по формуле:

, (2.7)

, (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

, (2.11)

, (2.12)

Величина коэффициента корреляции означает достаточно тесную связь рассматриваемых признаков.

Коэффициент детер­минации показывает, что 52 % вариации прибыли свя­зано с вариацией выработки продукции на одного работника.

Качество модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8–10 % (см. среднее значение в последней графе таблицы 2).

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью - статистики Стьюдента и вычислим дове­рительные интервалы для каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимых отли­чиях от нуля значений показателей:

для числа степеней свободы

Определим случайные ошибки параметров , и коэффи­циента корреляции :

, (2.32)

где – ошибка параметра а;

– стандартная ошибка регрессии, определяемая как

, (2.33)

, (2.34)

, (2.35)

Далее вычисляем значения критерия Стьюдента:

, (2.36)

, (2.37)

, (2.38)

Фактические значения – статистики превосходят табличное значение на 5 %–м уровне значимости при числе степеней свободы : . Поэтому гипотеза Н_о отклоняется, то есть , и отличаются от нуля не случайно и их значения статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b, для чего определим предельную ошибку для каждого параметра:

, (2.39)

, (2.40)

Доверительные интервалы:

, (2.41)

, (2.42)

, (2.43)

, (2.44)

, (2.45)

, (2.46)

Анализ верхней и нижней границ доверительных интерва­лов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не при­нимают нулевых значений, то есть не являются статистически не­значимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют исполь­зовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение вы­работки , то точечный прогноз прибыли составит:

, (2.47)

тыс. руб.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значе­ния прибыли :

, (2.48)

тыс. руб.

Предельная ошибка прогнозируемой прибыли составит:

, (2.49)

тыс. руб.

Доверительный интервал прогнозируемой прибыли составит:

то есть при выработке, равной 92 единицы, получим значение прибыли не

меньше чем тыс. руб., и не больше чем тыс. руб.