Тема№5 Прогнозирование на базе одиночных временных рядов

Разработка прогнозов на базе одиночных временных рядов вы­полняется по отдельным этапам.

На первом этапе выявляется форма зависимости социально–экономического показателя от фактора времени . Для нахождения этой формы можно применять различные методы. Наиболее распространенными в практике прогнозирования, являются графический метод и метод ко­нечных разностей.

Первый метод более универсальный, а поэтому име­ет более широкую область применения.

Второй применяется в тех слу­чаях, когда исследователь считает, что для данного ряда в качестве прогнозирующей функции можно использовать полином степени.

При реализации графического метода не всегда по исходным данным можно определить характер зависимости признака от фактора времени .

В этих ситуациях исходные данные подвергаются дополнительной статистической обработке путем расчета скользящих средних.

В зависимости от количества элементов, включаемых в период сглаживания, различают скользящие средние с четным и нечетным интервалами времени.

При расчете скользящих средних с нечетным количеством элемен­тов искомые величины на первом этапе, имеют "адресную привязку"; при нечетном – искомые величины определяются через посредство "плавающих скользящих средних".

В зависимости от характера периодов сглаживания применяют следующие формулы:

трехчленная

при (5.1)

пятичленная

при (5.2)

четырехчленная

при (5.3)

Из полученных скользящих средних формируется новый временной (динамический) ряд, в котором в большей степени усилено влияние на формирование социально–экономического показателя закономерно действующих во времени факторов. Благодаря этому при графическом анализе более четко просматривается форма изменения анализируемого признака во времени.

В основу использования метода конечных разностей положено свойство полинома степени обращать в ноль конечные разнос­ти – го порядка .

Конечные разности –го порядка рассчитывают по формулам:

…………

, (5.4)

Предположим, что конечные разности 3–го порядка преимущест­венно стремятся к нулю . Для нахождения степени полино­ма необходимо решить следующее простейшее уравнение:

Следовательно, в данном примере тенденция социально–экономического признака во времени описывается полиномом 2–й степе­ни:

, (5.5)

Графический способ и метод конечных разностей позволяют полу­чить предварительную оценку о форме связи социально – экономического признака с фактором времени . На данном этапе прогнозирования необходимо тщательно изучить характер изменения анализируемого приз­нака, исходя из его природы, используя при этом логические, математические и экономические методы анализа.

Изменения социально–экономических признаков во времени могут быть самыми разнообразными: равномерными, ускоренными, с резкими переходами, с пределами насыщения и другими тенденциями. Это свидетельство того, что научно обоснованный прогноз требует проведения глубокого не только количественного, но и качественного анализа в целях выявления действующих внутренних и внешних причин на ха­рактер поведения во времени исследуемого социально–экономического признака.

Выявленная зависимость прогнозируемого признака от фактора времени в форме математического выражения представляет собой общий вид прогнозирующей функции – тренд.

Для представления тренда в виде конкретного выражения необхо­димо рассчитать его параметры, используя при этом различные мате­матические способы.

Наибольшее распространение, вероятно по своей простоте, для расчета параметров, получил метод наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в построении и решении системы нормальных уравнений.

Построение системы нормальных, уравнений требует соблюдения определенного правила, суть которого, рассмотрим на примере прогнозирующей функции вида:

Правило построения системы нормальных уравнений:

1.Записывается общий вид прогнозирующей функции – ;

2.Выявляются искомые параметры – ;

3.Анализируются искомые параметры на предмет наличия (от­сутствия) свободного элемента – ;

3.1. При наличии такого элемента первое нормальное уравне­ние строится следующим образом: свободный элемент умножа­ют на число точек, входящих в состав динамического ряда – , а признаки и суммируются по области исследования.

, (5.6)

3.2. При отсутствии свободного элемента этап 3.1 не отраба­тывается;

4. Последующие нормальные уравнения конструируются путем поочередного умножения элементов прогнозирующей модели на сомножители очередных искомых параметров.

Полученные произведения сум­мируются в рамках области исследования.

4.1. По параметру

, (5.7)

4.2. По параметру

, (5.8)

Количество нормальных уравнений в системе соответствует числу искомых параметров:

, (5.9)

В тех случаях, когда прогнозирующая функция представлена трендом, отличным от полинома степени, использование мето­да наименьших квадратов возможно после линеаризации функции. В за­висимости от первоначального вида прогнозирующих функций линеаризация их возможна разными способами: заменой, логарифмированием и другими преобразованиями.

После нахождения в конкретной форме прогнозирующей функции приступают к оценке правильности выбранной ee формы, то есть насколь­ко прогнозирующая функция в данной форме точно аппроксимирует (описывает) положение исходных точек на координатном поле. Такая оценка выполняется, с помощью критерия Фишера .

Расчетные значения критерия Фишера можно определять по одной из следующих формул:

, (5.10)

, (5.11)

где , , – соответственно факториальная, остаточная и общая

дисперсии.

Перечисленные дисперсии определяются по соответствующим формулам:

, (5.12)

, (5.13)

, (5.14)

где – количество элементов временного ряда;

– количество параметров в уравнении прогнозирующей функции;

, , – степени свободы дисперсий.

Под степенью свободы необходимо понимать возможное количество функционально несвязанных между собой вариантов колеблемости неко­торого признака.

Оценка правильности выбора прогнозирующих функций по форме выполняется на основе сравнения с

Табличное значение критерия Фишера определяется по специальным таблицам на пересечении линий, проведанных через степени свободы и при опре­деленных вероятностях.

В зависимости от формул расчета критерия Фишера определение степеней свободы имеет некоторые особенности:

для формулы (5.10)

;

;

для формулы (5.11)

;

;

При сравнении расчетных значений, с табличными возможны следующие ситуации:

– уравнение тренда с достаточной точностью описывает расположение исходных данных;

– точность аппроксимации не обеспечивает необходи­мую точность – следует перейти к поиску уравнений тренда другой формы.

При использовании нескольких конкурирующих функций предпоч­тение отдается той функции, у которой максимальный.

После оценки функции по необходимо проверить статистическую значимость параметров уравнения тренда.

С помощью этой проверки оценивается тождественность тенденций, сложившихся в выборочных наблюдениях, в рамках области исследования, и в представительной выборке.

Для линейных уравнений тренда – проверка статистической значимости параметров выполняется по следующему алгоритму:

1) определяют случайные ошибки по формулам:

, (5.15)

, (5.16)

где , – соответственно случайные ошибки параметров и ;

– остаточное среднеквадратическое отклонение.

2) рассчитывают для параметров и

, (5.17)

, (5.18)

Полученные расчетные сравнивают с табличными значениями, которые определяют по специальным таблицам для определенной до­верительной вероятности, рассчитав предварительно степень свободы .

Если считается, что параметры и статисти­чески значимы, следовательно, уравнение тренда можно использо­вать в дальнейших прогнозных расчетах.

Если ,. необходи­мо расширить область исследования и исследования провести вновь.

Для построения доверительной зоны линий регрессии для каждой временной точки области исследования определяют ординаты на верхней и нижней граничных кривых. Значения указанных ординат определяют по формулам.

, (5.19)

где – соответственно ординаты на верхней и нижней гра­ничных кривых

доверительной зоны;

– расчетное значение признака при вариациях аргумен­та (фактора

времени ) в рамках области исследо­вания;

–доверительный интервал.

, (5.20)

Полученные точки на соответствующих граничных кривых соединяют линиями, получая при этом графическое изображение доверительной зоны для линии регрессии.

В целом на точность прогноза оказывают влияние не только статистическая значимость параметров уравнений регрессии, но и отклонения между расчетными и фактическими значениями признака.

Доверительные интервалы для индивидуальных значений признака рассчитывают по формуле:

, (5.21)

Индивидуальные прогнозные значения признака с учетом влияния всех возмущающих факторов можно определить по формуле:

, (5.22)

Зная , можно с определенным уровнем вероятности утверждать, что фактическое значение прогнозируемой величины не должно выйти за пределы доверительных интервалов.