Степенная модель
Регрессия в виде степенной функции имеет вид:
,
(2.23)
Для оценки параметры a и b, линеаризуем модель путем логарифмирования:
,
(2.24)
Обозначим
;
;
Тогда получим:
,
(2.25)
Применяя метод МНК (метод наименьших квадратов), получаем систему нормальных уравнений:
,
(2.26)
Для расчета параметров составим таблицу 2.
По
исходным данным рассчитаем
,
,
,
Система нормальных уравнений составит:
Решим ее методом определителей: определитель системы равен:
,
(2.27)
Таблица 3 – Вспомогательная расчетная таблица
Номер региона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4,5 |
68,8 |
1,50 |
4,23 |
6,36 |
2,2622 |
17,9031 |
4,22 |
68,28 |
0,52 |
0,27 |
0,756 |
2 |
5,9 |
58,3 |
1,77 |
4,07 |
7,22 |
3,1505 |
16,5291 |
4,07 |
58,70 |
–0,40 |
0,16 |
0,686 |
3 |
5,7 |
62,6 |
1,74 |
4,14 |
7,20 |
3,0292 |
17,1128 |
4,09 |
59,84 |
2,76 |
7,62 |
4,430 |
4 |
7,2 |
52,1 |
1,97 |
3,95 |
7,80 |
3,8970 |
15,6275 |
3,96 |
52,52 |
– 0,42 |
0,18 |
0,806 |
5 |
6,2 |
54,5 |
1,82 |
4,00 |
7,29 |
3,3290 |
15,9856 |
4,04 |
57,09 |
– 2,59 |
6,73 |
4,752 |
6 |
6,0 |
57,1 |
1,79 |
4,04 |
7,25 |
3,2104 |
16,3604 |
4,06 |
58,15 |
–1,05 |
1,10 |
1,839 |
7 |
7,8 |
51,0 |
2,05 |
3,93 |
8,08 |
4,2194 |
15,4593 |
3,92 |
50,23 |
0,77 |
0,60 |
1,510 |
8 |
8,0 |
50,1 |
2,08 |
3,91 |
8,14 |
4,3241 |
15,3196 |
3,90 |
49,52 |
0,58 |
0,34 |
1,158 |
|
51,3 |
454,5 |
14,74 |
32,28 |
59,34 |
27,4218 |
130,2974 |
32,28 |
454,33 |
0,17 |
17,00 |
15,937 |
В среднем |
6,4125 |
56,8125 |
1,84 |
4,03 |
7,42 |
3,4277 |
16,2872 |
|
|
|
|
1,992 |
,
(2.28)
,
(2.29)
,
(2.30)
, (2.6)
Получаем уравнение регрессии:
Выполнив
потенцирование, получим:
Теоретические
значения зависимой переменной
получим, подставив в уравнение
значения х и потенцируя значения
.
Для оценки тесноты связи найдем индекс корреляции:
Остаточная сумма квадратов составит:
Следовательно, индекс корреляции составит:
Коэффициент детерминации для уравнения степенной функции равен:
критерий Фишера будет равен:
, (2.22)
Табличное значение критерий Фишера при числе степеней свободы 1 и 6 и уровне значимости 0,05 составит: , то есть фактическое значение критерия превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.
Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как
% , (2.14)
Средняя ошибка аппроксимации находится, как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:
%
Ошибка аппроксимации показывает соответствие расчетных и фактических данных.
Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице.
Таблица 4– Итоговая таблица
Уравнение регрессии |
Коэффициент детерминации |
критерий Фишера |
Средняя ошибка аппроксимации |
|
0,896 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,992 % |
%
%
Наилучшей
моделью является гиперболическая
модель, для которой значение
достаточно высокое, а ошибка аппроксимации
– наименьшая.