2. Найдем показатели тесноты связи линейной модели:
Линейный коэффициент корреляции равен:
,
(2.7)
,
(2.8)
, (2.9)
,
(2.10)
, (2.11)
, (2.12)
Вывод: связь между признаками очень высокая обратная, так как
–0,9> > –0,99
3.Оценим модель через показатель детерминации, f-критерий Фишера, ошибку аппроксимации
Коэффициент детерминации составит:
То есть вариация на 89,6 % объясняется вариацией . На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 10,4 %.
критерий Фишера будет равен:
, (2.13)
Табличное
значение
критерий
Фишера при числе степеней свободы 1 и
6 и уровне значимости 0,05 составит:
,
то есть фактическое значение
критерия
превышает табличное, и можно сделать
вывод, что уравнение регрессии
статистически значимо.
Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как
%
, (2.14)
Средняя ошибка аппроксимации находится, как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:
%
Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных.
Гиперболическая модель
Регрессия в виде равносторонней гиперболы имеет вид:
,
(2.15)
Чтобы
оценить параметры a
и b,
приведем модель к линейному виду, заменив
.
Тогда
,
(2.16)
Применяя метод МНК (метод наименьших квадратов), получаем систему нормальных уравнений:
,
(2.17)
Для расчета параметров составим таблицу 2.
По
исходным данным рассчитаем
Система нормальных уравнений составит:
Решим ее методом определителей: определитель системы равен:
,
(2.18)
,
(2.19)
Таблица 2– Вспомогательная расчетная таблица
Номер региона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4,5 |
68,8 |
0,222 |
0,0494 |
15,289 |
68,93 |
-0,13 |
0,02 |
0,187 |
2 |
5,9 |
58,3 |
0,169 |
0,0287 |
9,881 |
58,51 |
-0,21 |
0,04 |
0,360 |
3 |
5,7 |
62,6 |
0,175 |
0,0308 |
10,982 |
59,68 |
2,92 |
8,50 |
4,657 |
4 |
7,2 |
52,1 |
0,139 |
0,0193 |
7,236 |
52,46 |
-0,36 |
0,13 |
0,698 |
5 |
6,2 |
54,5 |
0,161 |
0,0260 |
8,790 |
56,89 |
-2,39 |
5,71 |
4,384 |
6 |
6,0 |
57,1 |
0,167 |
0,0278 |
9,517 |
57,95 |
-0,85 |
0,73 |
1,492 |
7 |
7,8 |
51 |
0,128 |
0,0164 |
6,538 |
50,35 |
0,65 |
0,42 |
1,270 |
8 |
8,0 |
50,1 |
0,125 |
0,0156 |
6,263 |
49,72 |
0,38 |
0,15 |
0,760 |
|
51,3 |
454,5 |
1,287 |
0,2140 |
74,497 |
454,50 |
0,00 |
15,69 |
13,807 |
, (2.4)
,
(2.21)
, (2.6)
Получаем уравнение регрессии:
Чтобы рассчитать ошибку аппроксимации, найдем расчетные значения , подставляя в уравнение регрессии соответствующие значения .
Для оценки тесноты связи найдем индекс корреляции:
Остаточная сумма квадратов составит:
Следовательно, индекс корреляции составит:
Коэффициент детерминации для уравнения гиперболы равен:
критерий Фишера будет равен:
,
(2.22)
Табличное значение критерий Фишера при числе степеней свободы 1 и 6 и уровне значимости 0,05 составит: , то есть фактическое значение критерия превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.
Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как
%
, (2.14)
Средняя ошибка аппроксимации находится, как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:
%
Ошибка аппроксимации показывает соответствие расчетных и фактических данных.