Задача№1

По исходным данным, характеризующим уровень производительности труда за последние 7 лет и представленным в таблице 1, требуется:

1. найти конкретный вид тренда в линейной форме – ;

2. оценить модель по форме и статистическую значимость ее параметров «а₀» и «а₁» с помощью соответственно критерия Фишера и критерия Стьюдента ;

3. построить доверительную зону линий регрессии;

4. рассчитать прогноз уровня производительности труда на конец периода упреждения продолжительностью 3 года, с помощью доверительных границ.

Таблица 1– Уровень производительности труда на предприятии

за последние семь лет

Выработка продукции на одного работника, тыс. долл. (чел.)							Уровень производительности труда у основного конкурента, %	Средний темп прироста производи-тельности у конкурента, %
Условные годы
1	2	3	4	5	6	7
4	5	6	8	8	8	10	101,0	5,1

Решение:

В соответствии с системой линейных уравнений вычисление параметров удобно выполнить с помощью специальной расчетной таблицы 2.

Таблица 2– Расчетная таблица системы нормальных уравнений.

Условные годы	Производительность труда, тыс. долл.
1	4	4	1	4,21
2	5	10	4	5,14
3	6	18	9	6,07
4	8	32	16	6,99
5	8	40	25	7,92
6	8	48	36	8,85
7	10	70	49	9,78

Определим необходимые составляющие: ; ; и .

Система нормальных уравнений следующими конкретными выражениями:

Решение этой системы позволило получить искомые параметры модели прогнозирования:

Следовательно, уравнение прогнозирующей функции будет представлено выражением:

Следующий этап – оценка выбранной модели прогнозирования по форме с помощью критерия Фишера .

В таблице 3 выполнен расчет необходимых компонентов: , для определения расчетного критерия Фишера

Таблица 3– Расчет факториальной и остаточной дисперсий

4	4,21	–2,79	7,78	–0,21	0,04
5	5,14	–1,86	3,46	–0,14	0,02
6	6,07	–0,93	0,86	–0,07	0,00
8	6,99	–0,01	0,00	1,01	1,02
8	7,92	0,92	0,85	0,08	0,01
8	8,85	1,85	3,42	–0,85	0,72
10	9,78	2,78	7,73	0,22	0,05
	–	–		–

Среднее значение рассчитаем по формуле средней арифметической:

, (5.23)

С помощью данных таблицы 3 по формулам (5.12) и (5.14) рассчитываются

соответственно остаточная и факториальная дисперсии

; (5.12)

; (5.12)

Табличное значение критерия Фишера определяется по таблице приложения 1. При и .Сравнивая табличное значение с можно увидеть, что > . При таком соотношении значений критерий Фишера необходимо сделать вывод, что прогнозирующая функция обеспечивает необходимую точность аппроксимации исходных точек, то есть проверка по форме прогнозирующей функции выдержала испытание.

Далее необходимо приступить к следующему этапу – оценке статистической значимости параметров уравнения тренда.

По формулам (5.15) и (5.16) рассчитывают случайные ошибки отдельно по каждому параметру, предварительно определив значения среднеквадратического отклонения

По формулам (5.17) и (5.18) определяют расчетные значения критерия Стьюдента

для «а₀» , (5.17)

для «а₁» , (5.18)

Табличная величина критерия Стьюдента устанавливается по таблице приложения 2 при соответствующей степени свободы и уровне доверительной вероятности .

В рассматриваемом примере и .

Поскольку считается, что параметры и статисти­чески значимы, то есть тенденция, отражаемая прогнозирующей функцией, в пределах допустимой точности соответствует тенденции сложившейся в рамках представительной выборки.

Для построения доверительной линии регрессии по формуле (5.19) определяют ординаты точек на верхней и нижней граничных кривых .

При доверительные интервалы в зависимости от аргумента имеют следующие значения:

для

для

для

для

для

для

для

Расчет ординат точек, расположенных на верхней и нижней граничных кривых, выполнен в таблице 4.

Таблица 4– Расчет ординат точек на верхней и нижней граничных кривых

доверительной зоны

1	4,21	1,68	5,89	2,53
2	5,14	1,32	6,46	3,82
3	6,07	1,04	7,11	5,03
4	6,99	0,93	7,92	6,06
5	7,92	1,04	8,96	6,88
6	8,85	1,32	10,17	7,53
7	9,78	1,68	11,46	8,10

По ординатам на верхней и нижней граничных кривых построена доверительная зона для линии регрессии (Рисунок 1).

Рисунок1– Доверительная зона для линии регрессии

Из рисунка 1 видно, что границы доверительной зоны расположены близко по отношению к линии регрессии, что свидетельствует об идентичности тенденций признака, сложившихся в случайной и представительной выборках.

По формуле (1.19) рассчитываются экстремальные значения признака с упреждением на 3 года, то есть на момент времени .

Для этого предварительно определяют на данный момент и .

Таблица 5– Расчет и на момент разработки прогноза

1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100

, (5.21)

тыс. долл. / чел.

тыс. долл. / чел.

тыс. долл. / чел.

Можно с достаточной вероятностью утверждать, что прогнозное значение при знака на момент времени будет в интервале 9,72–15,44 тыс. долл. / чел.

Наиболее вероятный уровень производительности труда составит:

По сравнению с уровнем производительности труда, сложившего в конце предпрогнозного периода, эффективность труда должна повыситься на 25,8 % .

Для расчета уровня производительности труда у основного конкурента на момент расчета прогноза необходимо обратиться к таблице 1.

Как следует из данных таблицы 1, уровень производительности труда у основного конкурента в последний предпрогнозный период составлял 101,0 %. С учетом наметившихся в последние годы темпов прироста уровень производительности труда у основного конкурента на момент разработки прогноза составит:

%

Таким образом, в перспективе производительность труда у конкурента с достаточно высокой вероятностью может оказаться выше на 16,45 %. Чтобы избежать негативных экономических последствий в результате сложившегося более низкого уровня производительности труда на предприятии необходимо разработать стратегию выхода из такой ситуации.

Это может быть реконструкция предприятия, перепрофилирования, диверсификация и т.д.