Лекция 4

Тема: Неопределенный интеграл

4.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла

4.2 Геометрический смысл неопределенного интеграла

4.3 Основные свойства неопределенного интеграла

4.4 Таблица правил и формул интегрирования

4.5 Вопросы для самопроверки

4.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции найти производную или дифференциал.

Например,

или .

Однако многочисленные задачи естествознания приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производной которой является функция , т.е

Для предыдущего примера это означает: .

Такую функцию называют первообразной для .

О пределение. Первообразной функцией для данной функции называется такая функция, производная которой равна данной функции, или что то же самое, дифференциал которой равен выражению .

- первообразная для или

( 4.1)

Обратная задача восстановления вида функции по известной ее производной или дифференциалу является задачей интегрального исчисления.

На самом деле задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Например, если то , а также и вообще , первообразная для , где С – некоторое постоянное число.

Таким образом, в отличие от дифференцирования, сопоставлявшего функции единственную другую функцию-производную первой, интегрирование приводит не к одной конкретной функции, а к целому набору функций, и в этом его неопределенность. Однако степень этой неопределенности не так уж велика.

Т еорема. Если функция первообразная для , то всякая другая первообразная для отличается от на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде .

Доказательство. Так как - первообразная для , то по определению . Аналогично, - первообразная, значит, . Составим разность ─ и продифференцируем ее:

,

но если производная равна нулю для некоторой функции, то эта функция постоянна. Следовательно, , ч.т.д.

Из доказанной теоремы следует, что выражение , где - некоторая первообразная для функции , а - произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных для данной функции. Введем теперь понятие неопределенного интеграла.

О пределение. Если - одна из первообразных для функции , то множество всех первообразных , где - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом.

Н еопределенный интеграл от функции обозначается символом (читается: «неопределенный интеграл от на »). Следовательно,

( 4.2)

называется подынтегральной функцией,

- подынтегральным выражением,

- переменной интегрирования, а символ

- знаком неопределенного интеграла.

Символ был впервые введен Г.Лейбницем в 1675 году.

Под знаком интеграла мы пишем не производную искомой функции, а ее дифференциал. Для предыдущего примера тогда можно записать

.

Действие отыскания неопределенного интеграла или, что то же самое, нахождение всех первообразных для данной функции, называется интегрированием этой функции.