8.4 Вопросы для самопроверки

1. Как вычислить площади заштрихованных фигур, представленных на рисунке 32:

а) б) в)

2. Запишите, какими интегралами будут вычисляться объемы тел, полученных при вращении заштрихованных областей, представленных на рисунке 32: а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси OY?

3. Какие виды несобственных интегралов Вы знаете?

4. Какие несобственные интегралы называют сходящимися? расходящимися?

Лекция 9

Тема: Приближенное вычисление определенных

интегралов

9.1 Основная идея численных методов вычисления приближенного

значения определенного интеграла

9.2 Метод прямоугольников

9.3 Метод трапеций.

9.4 Метод Симпсона

9.5 Вопросы для самопроверки.

9.6 Вопросы для самостоятельной работы

9.1 Основная идея численных методов вычисления приближенного

значения определенного интеграла

В большинстве случаев основным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница. Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями в случае усложнения подынтегральной функции, или невозможностью ее применения в случае «неберущихся» интегралов. Кроме того, иногда необходимо вычислять интегралы от функций, заданных табличным или графическим способом. В этих случаях используют, так называемые, численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью.

Основная идея этих методов состоит в том, что подынтегральную функцию заменяют другой, «близкой» к ней функцией.

Геометрически это означает, что криволинейную трапецию с основанием , ограниченную сверху кривой , заменяют другой фигурой с тем же основанием, площадь которой близка к искомой площади криволинейной трапеции, но вычисляется гораздо проще. Сама кривая заменяется вписанной в нее ломаной или более простой кривой.

9.2 Метод прямоугольников

Пусть на отрезке , где задана непрерывная функция , Требуется вычислить .

Для наглядности будем считать, что на (рисунок 33).

Разобьем отрезок на равных частей точками:

.

Длина каждого из полученных отрезков будет равна:

(9.1)

Т огда

.

Обозначим через значения

подынтегральной функции

в точках деления , т.е.

Тогда вся криволинейная

трапеция разобьется на «узких»

криволинейных трапеций. Заменим Рисунок 33

каждую из них на прямоугольник с высотой, равной значению функции на левом конце отрезка разбиения, и основанием, равным длине частичного отрезка, т.е. (рисунок 33).

Площадь криволинейной трапеции заменим площадью ступенчатой (заштрихованной) фигуры, которая равна сумме площадей прямоугольников. Таким образом, получаем следующее приближенное равенство:

(9.2)

Так как площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции на отрезке , то можно записать:

(9.3)

Формула (9.3) называется формулой прямоугольников с недостатком для возрастающей на функции . Если же убывает на , то эта же формула является формулой прямоугольников с избытком.

Если при построении прямоугольников, заменяющих «узкие» криволинейные трапеции, в качестве их высот взять значения функции на правых концах отрезков разбиения (рисунок 34), то получим формулы:

и ли (9.4)

По формуле прямоугольников (9.4) в случае возрастающей на функции мы будем получать приближенное значение интеграла с избытком, а в случае убывающей – с недостатком.

Ч

ем меньше шаг разбиения

(т.е. чем больше ), тем пло-

щадь ступенчатой фигуры

ближе к площади криволиней-

ной трапеции, т.е. формулы

(9.3) и (9.4) тем точнее, чем

больше . Иногда, в целях

уточнения результата, за

величину искомого опреде-

ленного интеграла принимают

среднее арифметическое

значений, полученных по Рисунок 34

формулам (9.3) и (9.4).

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности от применения формул прямоугольников. Обозначим через выражение, стоящее в правой части формулы (9.3) или (9.4). Тогда обозначим через

(9.5)

где - абсолютная погрешность от применения формул прямоугольников. Можно доказать, что абсолютная погрешность может быть оценена с помощью формулы:

(9.6)

где - максимальное значение модуля первой производной подынтегральной функции на , т.е. .