15.6 Вопросы для самопроверки
Для каких рядов можно применять признаки сравнения и Даламбера? В чем суть этих признаков?
Как ведут себя ряды
;
?Если
,
то как ведет себя соответствующий
знакоположительный ряд
?Какие ряды называются знакопеременными? знакочередующимися?
Как определяется функциональный (степенной) ряд?
Как находят область сходимости степенного ряда?
15.7 Вопросы для самостоятельной работы
С помощью рекомендуемой литературы [1, 5] изучите и законспектируйте ответы на вопросы:
1) Как доказывается признак Лейбница?
2) Что означает абсолютная и условная сходимость знакопеременного
ряда?
3) Каковы свойства абсолютно и условно сходящихся рядов?
4) Какими свойствами обладают степные ряды?
Лекция №16
Тема: РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА И
МАКЛОРЕНА
16.1 Разложение функций в степенные ряды
16.2 Ряды Тейлора и Маклорена
16.3 Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
16.4 Применение рядов к приближенным вычислениям
16.5 Вопросы для самопроверки
16.6 Вопросы для самостоятельной работы
16.1 Разложение функций в степенные ряды
Рассмотрим
функцию
.
Представим ее иначе, разделив числитель
на знаменатель «уголком».
Таким образом, функция f(x) оказалась представленной в виде степенного ряда:
.
(16.1)
Поставим вопрос: при каких условиях сумма ряда будет совпадать с функцией f(x)?
Определим,
какова область сходимости полученного
степенного ряда, у которого
,
.
Тогда
.
Следовательно, ряд сходится в интервале
(-1; 1).
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
при x
= -1 имеем ряд
1+1+1+…+1+…,
который расходится по достаточному
признаку расходимости, а при x
= 1 получаем
знакочередующийся ряд 1-1+1-1+…+(-1)n+…,
расходящийся на основании того же
признака. Таким образом, ряд сходится
при
.
Функция
определена при
,
кроме x
= -1.
Тогда сумма ряда совпадает со значениями функции на интервале (-1; 1).
Из приведенного примера следует, что задача представления функции в виде суммы степенного ряда состоит из двух задач: 1) нахождения вида степенного ряда; 2) установления условий, при которых ряд сходится к значениям f(x).
Рассмотрение такой задачи в общем виде приводит к понятию рядов Тейлора и Маклорена.
16.2 Ряды Тейлора и Маклорена
Пусть функция f(x) определена и бесконечное число раз дифференцирована в окрестностях точки x = c, а также она является суммой степенного
ряда
(16.2)
интервал сходимости которого (c – R; c + R). В этом случае говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд в окрестности точки с или по степеням x – c.
Найдем коэффициенты
этого степенного ряда. Так как по свойству
степенного ряда его можно почленно
дифференцировать и при этом получать
ряд, имеющий тот же интервал сходимости,
то продифференцируем тождество (16.2)
последовательно n
раз:
Полагая в полученных
тождествах x
= c,
получим
,
,
,
,
…
.
Отсюда находим коэффициенты степенного ряда:
,
,
,
,
…,
или
,
,
,
,
…,
,
где n! = 1·2·3…n – факториал числа n.
Подставим полученные значения коэффициентов в равенство (16.2):
(16.3)
Ряд (16.3) называется рядом Тейлора для функции f(x).
При c = 0 ряд (16.3) примет вид:
(16.4)
который называется рядом Маклорена для функции f(x).
Однако не все функции могут быть разложены в ряд Тейлора или Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции f(x), является расходящимся либо сходящимся не к функции f(x).
Выясним, при каких условиях сумма ряда Тейлора заданной функции совпадает с функцией. Для этого запишем n-ую частичную сумму ряда Тейлора
(16.5)
Сумму (16.5) еще называют многочленом Тейлора степени n. Рассмотрим разность между функцией f(x) и ее многочленом Тейлора степени n, которую называют остаточным членом ряда Тейлора и обозначают через Rn(x):
(16.6)
Теорема.
Бесконечно дифференцируемая в точке x
= c
функция f(x)
является
суммой составленного для нее ряда Тейлора тогда и только тогда, когда
остаточный
член Rn(x)
стремится к нулю при
,
то есть
(16.7)
Эту теорему примем без доказательства, как и тот факт, что если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.