15.2 Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости

Определение. Числовой ряд, члены которого имеют произвольные знаки,

называется знакопеременным рядом.

Пусть (15.5)

- некоторый знакопеременный ряд. Определенную информацию об этом ряде мы можем получить, рассматривая ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов знакопеременного ряда (15.5):

. (15.6)

Очевидно, что ряд (15.6) является знакоположительным рядом и поэтому к нему можно применять все рассмотренные выше достаточные признаки сходимости.

Т еорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (15.6), составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда (15.5) сходится, то сходится и данный ряд.

Доказательство. Рассмотрим знакопеременный ряд и его частичные суммы и , составленные из абсолютных величин членов этого ряда, входящих в него со знаком «плюс» и «минус». Тогда n-ая частичная сумма данного ряда будет равна , а для ряда . Так как по условию теоремы последний ряд сходится, то существует конечный предел , а это означает, что существуют пределы , и, соответственно, предел частичной суммы данного ряда , то есть ряд сходится, что и требовалось доказать.

Пример 15.4 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Очевидно, что задан знакопеременный ряд, так как , , , , , … Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

. (15.7)

Так как , при , то имеем:

.

Ряд является обобщенным гармоническим рядом, который сходится . На основании признака сравнения ряд (15.7) также сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

15.3 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Ч астным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд.

Определение. Знакопеременный ряд является знакочередующимся, если соседние его члены имеют разные знаки:

(15.8)

Для исследования его на сходимость можно использовать доказанный выше признак, однако для знакочередующихся рядов удобнее применять достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу. Приведем его без доказательства.

Т еорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда

, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и предел его общего члена при равен нулю, то есть , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда: .

Пример 15.5 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине , и предел общего члена ряда

, то по признаку Лейбница ряд сходится.

Следствие (об оценке остатка знакочередующегося ряда). Погрешность

при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося

ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной вели-

чине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.