14.5 Вопросы для самостоятельной работы

С помощью рекомендуемой литературы [1, 5] изучите и законспектируйте ответы на вопросы:

1) Как формулируется и доказывается интегральный признак Коши? Как его применяют к исследованию числовых рядов на сходимость?

2) Как формулируется и применяется к исследованию числовых рядов на сходимость радикальный признак Коши?

Лекция №15

Тема: ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

15.1 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

членами: а) сравнения; б) Даламбера

15.2 Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости

15.3 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

15.4 Функциональные ряды. Область сходимости степенного ряда

15.5 Степенные ряды. Нахождение области сходимости степенного

ряда

15.6 Вопросы для самопроверки

15.7 Вопросы для самостоятельной работы

15.1 Достаточные признаки сходимости рядов с положительными

членами: а) сравнения; б) Даламбера

Рассмотрим числовой ряд с положительными членами:

(15.1)

Его частичные суммы , положительны и возрастают с увеличением номера суммы n, то есть они образуют монотонно возрастающую числовую последовательность:

.

При этом, если а) эта последовательность ограничена, то есть при любом n, то по теореме К. Вейерштрасса она имеет предел и, следовательно, ряд сходится; б) эта последовательность неограниченна, тогда и, следовательно, ряд сходится.

Таким образом, при доказательстве того, что тот или иной знакоположительный ряд сходится, достаточно доказать только ограниченность последовательности его частичных сумм.

Приемы, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость рядов, называются признаками сходимости.

а) Признаки сравнения

Теорема (признаки сравнения). Пусть даны два ряда с положительными

членами: и , причем члены первого ряда не превосходят членов второго, то есть при любом n

. (15.2)

Тогда: а) если сходится ряд (V), то сходится и ряд (U); б) если расходится ряд (U), то расходится и ряд (V).

Доказательство. а) Пусть ряд сходится, тогда , где и , так как члены ряда положительны. Найдем n-ую частичную сумму ряда : . (15.3)

Так как по условию , то .

Следовательно, последовательность частичных сумм является возрастающей и ограниченной, тогда она имеет конечный предел, а соответствующий ряд сходится.

б) По условию ряд расходится, следовательно, , но так как выполняется неравенство (15.2), то и тогда . Таким образом, ряд также расходится, что и требовалось доказать.

Замечания. 1. Так как сходимость ряда не изменяется при отбрасывании конечного числа первых членов ряда, то условие (15.2) может выполняться, начиная с некоторого места, например, при .

2. При исследовании рядов на сходимость с помощью признака сравнения необходимо иметь ряды, сходимость или расходимость которых заранее известна, то есть так называемые «эталонные ряды», представленные в таблице 3.

Таблица 3 – «Эталонные ряды»

Вид ряда	Название ряда	Поведение ряда
	Гармонический	Расходится
	Обобщенный, гармонический (или ряд «р»)	При р > 1 - сходится, при р ≤ 1 - расходится
	Ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию	При < 1 - сходится, при ≥ 1 – расходится

Пример 15.1 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Начиная со второго члена ряда можно записать следующие очевидные неравенства:

;

Так как ряд , являющийся обобщенным гармоническим рядом при сходится, а члены исследуемого ряда меньше его членов (начиная со второго), то на основании признака сравнения исходный ряд также сходится.

Как следует из приведенного примера применение признака сравнения требует подбора «эталонного ряда» на основе выполнения неравенства (15.2), при доказательстве которого часто необходимо преобразование рядов (например, умножение на определенные числа, отбрасывание или приписывание конечного числа членов и т.п.), что достаточно сложно. В ряде случае более простым оказывается предельный признак сравнения, являющийся следствием общего признака сравнения, который мы примем без доказательства.

Т еорема (предельный признак сравнения). Если и два ряда с

положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов, отличный от нуля, то ряды одновременно сходятся или расходятся: , ведут себя одинаково.

Пример 15.2 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Запишем формулу для общего члена ряда.

Так как числа 7, 11, 15, 19, … образуют арифметическую прогрессию с разностью d = 4, то . Знаменатели членов ряда описываются формулой . Тогда . Подберем ряд для сравнения, учитывая, что при больших n: . Следовательно, в качестве «эталонного ряда» можно рассматривать гармонический ряд , который является расходящимся.

Так как

исходный ряд ведет себя также, как и гармонический, то есть расходится.

На практике при расследовании рядов на сходимость весьма удобным является признак Даламбера, который мы приведем без доказательства.

Теорема (признак Даламбера). Если для знакоположительного ряда

существует предел отношения последующего члена к предыдущему при

неограниченном возрастании номера члена n, то есть

, (15.4)

то при ρ < 1 – ряд сходится, а при ρ > 1 – расходится.

Замечания. 1. Если , то ряд также расходится, так как и в этом случае для достаточно больших n и, следовательно, .

2. Если , то признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, (то есть ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся). В этом случае рекомендуется перейти к другим достаточным признакам.

3) Если в записи общего члена ряда U_n имеются выражения вида: aⁿ, n! («эн факториал» по определению равен ), или нарастающие произведения, например, вида: , то для исследования ряда на сходимость следует применять признак Даламбера. В случае, когда общий член представляет собой отношение двух многочленов, применяют предельную форму признака сравнения.

Пример 15.3 Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как в общем члене ряда присутствуют показательные выражения и , то для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера. Для этого по n-му члену найдем последующий член, заменив в на : .

Так как

, то по признаку Даламбера ряд сходится.